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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:47 Di 21.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Es sei (G,*) eine Gruppe und U= [mm] \{g \in G | h*g = g*h \forall h \in G \}
[/mm]
a) Zeigen Sie, wenn G/U zyklisch ist, dann ist G abelsch
b) Berechnen Sie |G:U|, wenn G/ U zyklisch ist |
Hallo,
hab leider mal wieder vor allem bei Teil a) große Schwierigkeiten. Hoffe jemand von euch kann mir einen Denkanstoß geben.
Bisher weiß ich, dass U selbst ein Normalteiler ist, und zyklisch heißt ja, G/U ist von einem Element erzeugt, aber wie komm ich hier weiter...?
Bei b) könnte ich natürlich Teil a)verwenden und sagen:Wenn G/U zyklisch ist, wissen wir: dann ist G ist abelsch. Dann wäre aber nach der Definition von U, U=G und somit auch |G|=|U|. Das würde ja aber nach Satz von Lagrange bedeuten, dass |G:U|=1 sein muss.
Ich hoffe jemand kann mir bei a) noch einen entscheidenden Tipp geben(und falls bei b) etwas falsch sein sollte, mich korrigieren,), wär um jede Hilfe dankbar.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:12 Di 21.07.2009 | | Autor: | statler |
> Es sei (G,*) eine Gruppe und U= [mm]\{g \in G | h*g = g*h \forall h \in G \}[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, wenn G/U zyklisch ist, dann ist G abelsch
> b) Berechnen Sie |G:U|, wenn G/ U zyklisch ist
Hi!
> hab leider mal wieder vor allem bei Teil a) große
> Schwierigkeiten. Hoffe jemand von euch kann mir einen
> Denkanstoß geben.
> Bisher weiß ich, dass U selbst ein Normalteiler ist, und
> zyklisch heißt ja, G/U ist von einem Element erzeugt, aber
> wie komm ich hier weiter...?
Sei aU ein erz. Element von G/U. Dann läßt sich ein Element g aus G darstellen als [mm] a^r*u [/mm] mit u [mm] \in [/mm] U. Jetzt schnappst du dir 2 davon und verknüpfst sie rechtsrum und linksrum.
> Bei b) könnte ich natürlich Teil a)verwenden und
> sagen:Wenn G/U zyklisch ist, wissen wir: dann ist G ist
> abelsch. Dann wäre aber nach der Definition von U, U=G und
> somit auch |G|=|U|. Das würde ja aber nach Satz von
> Lagrange bedeuten, dass |G:U|=1 sein muss.
> Ich hoffe jemand kann mir bei a) noch einen entscheidenden
> Tipp geben(und falls bei b) etwas falsch sein sollte, mich
> korrigieren,), wär um jede Hilfe dankbar.
b) sieht gut aus.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Di 21.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
Danke,
dann schreib ich also [mm] g_{1}*g_{2} =a^{r}*u*a^{s}*u =a^{r}*a^{s}*u*u [/mm] ( weil U abelsch ist) [mm] =a^{r+s}*u*u= a^{s}*a^{r}*u*u= a^{s}*u*a^{r}*u [/mm] (wiederum weil U abelsch ist) [mm] =g_{2}*g_{1} [/mm] , wobei [mm] g_{1},g_{2}, [/mm] a [mm] \in [/mm] G, u [mm] \in [/mm] U.
Und damit ist G abelsch.
Stimmt das soweit?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Di 21.07.2009 | | Autor: | pelzig |
> dann schreib ich also [mm]g_{1}*g_{2} =a^{r}*u*a^{s}*u =a^{r}*a^{s}*u*u[/mm]
> ( weil U abelsch ist) [mm]=a^{r+s}*u*u= a^{s}*a^{r}*u*u= a^{s}*u*a^{r}*u[/mm]
> (wiederum weil U abelsch ist) [mm]=g_{2}*g_{1}[/mm] , wobei
> [mm]g_{1},g_{2},[/mm] a [mm]\in[/mm] G, u [mm]\in[/mm] U.
> Und damit ist G abelsch.
> Stimmt das soweit?
Ja, bis auf einen kleinen Fehler. Du kannst ja wie statler bemerkt hat jedes [mm] $g\in [/mm] G$ schreiben als $a^ru$ für ein [mm] $r\in\IZ$ [/mm] und [mm]u\in U[/mm]. Aber für verschiedene Elemente [mm] $g_1,g_2\in [/mm] G$ sind es natürlich i.A. verschiedene r und u, d.h. du musst eigentlich anfangen mit [mm]g_{1}*g_{2} =a^{r}*u_1*a^{s}*u_2=...[/mm]. Die Begründung "weil U abelsch ist", stimmt auch nicht, denn [mm] $a^r$ [/mm] wird i.A. nicht in U liegen. Aber alle Elemente aus u kommutieren mit allen Elemente aus G (nach Definition von U), deshalb kannst du an den Stellen die Faktoren vertauschen.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Di 21.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
> Ja, bis auf einen kleinen Fehler. Du kannst ja wie statler
> bemerkt hat jedes [mm]g\in G[/mm] schreiben als [mm]a^ru[/mm] für ein
> [mm]r\in\IZ[/mm] und [mm]u\in U[/mm]. Aber für verschiedene Elemente
> [mm]g_1,g_2\in G[/mm] sind es natürlich i.A. verschiedene r und u,
> d.h. du musst eigentlich anfangen mit [mm]g_{1}*g_{2} =a^{r}*u_1*a^{s}*u_2=...[/mm].
Also ich dachte mir eigentlich, dass ich jedes g auch ausdrücken könnte über [mm] a^{r}*e_{G}???, [/mm] denn [mm] e_{G} [/mm] liegt ja auch in U, das war mein Grund weshalb ich die u aus U nicht verschieden gewählt hab.
Geht das etwa nicht? Impliziert G/U zyklisch nicht, dass auch g zyklisch ist...?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Di 21.07.2009 | | Autor: | pelzig |
> Also ich dachte mir eigentlich, dass ich jedes g auch
> ausdrücken könnte über [mm]a^{r}*e_{G}???,[/mm] denn [mm]e_{G}[/mm] liegt
> ja auch in U, das war mein Grund weshalb ich die u aus U
> nicht verschieden gewählt hab.
Nein, das gilt nicht. Über das u hast du keine Kontrolle.
> Geht das etwa nicht? Impliziert G/U zyklisch nicht, dass
> auch G zyklisch ist...?
Nein, das gilt sicherlich nicht.
Gruß, Robert
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