Faktor- und Dualräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Hallo, könnte mir vielleicht mal jemand in einfachsten Worten (!!!!) erkären, was man sich unter einem Faktor- und was unter einem Dualraum vorstellen kann, was man damit macht und was es bei Fakorräumen bedeutet modulo irgendwelcher Unterräume zu rechnen. |
Wir mussten immer nur nachrechnen, ob irgendetwas wohldefiniert ist, aber das Verständnis kam ein bisschen kurz.
Danke.
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Zum Dualraum:
Nun, vielleicht wird das an einigen Beispielen deutlicher!
Zum Messen von Längen und Winkeln kennst du das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren.
Das funktioniert aber nur im (euklidischen) karthesischen Koordinatensystem, also in dem, was du normalerweise benutzt.
Stehen die Basisvektoren in einem Raum nicht mehr senkrecht aufeinander, kannst du dein Skalarprodukt erstmal vergessen. Natürlich kannst du beide Vektoren in kart. Koordinaten umrechnen, und dann das Skalarprodukt ausrechnen, aber das ist auch etwas aufwändig.
Eine Lösung ist, daß du einen der beiden Vektoren gegen sein duales Pendant austauschst. In der Relativistik rechnet man ja mit Ko- und Kontravarianten Vektoren. Man kann zwei kovariante ODER zwei kontravariante Vektoren nicht miteinander skalarmultiplizieren, weil die Basis nicht rechtwinklig ist. Statt dessen wird einer der beiden Vektoren gegen den "andersartigen" ausgetauscht. Dies geht glücklicherweise ganz einfach, man muß nur bei allen Komponenten außer der ersten des Vektors das Vorzeichen ändern.
Oder hast du dich schon mit der Bracket-Schreibweise für das Skalarprodukt auseiander gesetzt? Also <a|b>? Hier hast du die beiden Vektoren |a> uns |b>. Willst du sie multiplizieren, mußt du den einen davon gegen seinen dualen austauschen, also statt |a> nimmst du <a|, und dann paßt das.
Das heißt übrigens, daß im komplexen ein dualer Wert gleich dem komplex konjungierten ist!
Also nochmal kurz: Das Skalarprodukt wird immer zwischen einem Vektor aus dem normalen Raum und einem Vektor aus dem Dualraum gebildet. Glücklicherweise ist der karthesische Raum mit seinem dualen Pendant identisch, und du brauchst hier nichts duales.
Übrigens: Ein Basisvektor hat ja nicht notwendigerweise die Länge 1, aber wenn du jetzt wie beschrieben das Skalarprodukt anwendest, bekommst du auch 1 raus!
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Hi, danke für deine schnelle antwort, ich muss aber ganz ehrlich sagen, dass ich das nicht verstehe, zumal wir dualräume eher mit homomorphismen und anderen abbildungen bertrachtet haben und das skalarprodukt zu diesem zeitpunkt noch gar nicht hatten.
Gibt es vielleicht noch andere (leichtere) Antworten die mehr mit den Abbildungen zu tun haben, vielleicht auch für die Faktorräume?
Danke
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Hey Gymno,
wo liegt denn dein Problem ? Also wenn du zB einen Vektorraumhomomorphismus [mm] f\colon V\to [/mm] W hast, so ist halt [mm] V\slash [/mm] Kern(f) ein Faktorraum, nämlich der Vektorraum aller Äquivalenzklassen [mm] [v]_f=\{u\in V|f(u)=f(v)\}. [/mm] Du musst halt einmal nachweisen oder verstanden haben oder so ..., dass
jetzt darauf die Addition
[mm] [v]_f+[w]_f\: :=\: [v+w]_f [/mm] wohldefiniert ist, d.h. nicht von der Wahl der VertreterInnen  der jeweiligen Klasse abhängen.
Und der Dualraum ist halt auch einfach, wir hatten das auch schon in LinAlgeb:
Wenn V ein Vektorraum ist, so ist halt der Dualraum genau der Vektorraum der linearen Abbildungen von V nach K, wir schreiben das als
[mm] V^*=Hom_K(V,K).
[/mm]
Viele Grüsse
just-math
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Danke,
das kommt dem schon ganz nahe, was wir auch damit gemacht haben.
Mein problem die ganze zeit ist nur, dass ich das mit diesen äquivalenzklassen nicht verstanden habe, ich weiß nicht so genau, was mir das sagen soll, eine kleine erläuterung wäre noch ganz nett.
Und zum dualraum.
ist das so, dass der homomorphismus die elemente des vektorraums auf körperelemente abbildet.
Wofür brauche ich das denn?
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Hallo gymnozist,
nochmal zu faktorräumen. das beispiel, was oben gebracht wurde, ist eigentlich ganz anschaulich:
sei [mm] $f:V\to [/mm] W$ eine lineare abbildung (also ein homomorphismus). dann gilt die isomorphie
[mm] $V/\ker [/mm] f [mm] \cong \operatorname{im} [/mm] f$
Wie sieht also der Faktorraum aus, bei dem quasi der Kern der Abbildung aus V 'herausdividiert' wird?
Zwei Elemente aus $V$ werden genau dann miteinander identifiziert (bzw. liegen in einer Äquivalenzklasse), wenn ihre Differenz in [mm] $\ker [/mm] f $ liegt. so ist der faktorraum ja definiert. Also:
[mm] $\forall u,v\in V:u\sim [/mm] v [mm] \gdw u-v\in \ker [/mm] f [mm] \gdw [/mm] f(u-v)=0 [mm] \gdw [/mm] f(u)=f(v)$
[mm] $u\sim [/mm] v$ bedeutet also nichts anderes, als $u$ und $v$ von f auf das gleiche Element in $W$ abgebildet werden. Daher die Isomorphie zu [mm] $\operatorname{im} [/mm] f$!
Gruß
Matthias
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