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| Aufgabe | Wir betrachten die Funktion [mm] f:\,[-1\,,\,3]\to\mathbb{R}\,,\quad f(x)\,=\,-(x-2)^2.
[/mm]
Die Tangente an den Graphen von f im Punkt [mm] P=\big(a\,,\,f(a)\big)\,,\quad a\in(0\,,\,2)\,,
[/mm]
bildet mit den Koordinatenachsen ein Dreieck mit Eckpunkten [mm] A,\,0 [/mm] und [mm] B\,.
[/mm]
Im Bild ist der Graph von f rot eingezeichnet und die Tangente an f in P grün.
Bestimmen Sie [mm] \,a\in(0\,,\,2)\, [/mm] so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks maximal wird,
und vervollständigen Sie die folgenden Aussagen:
a:Die Tangente an den Graphen von f im Punkt P hat die Gleichung
[mm] t_p(x)\,=\,
[/mm]
[mm] (1)\,-3x^2\,+\,8x\,-\,4\qquad\qquad\qquad\qquad (2)\,2x\,-\,(a-2)^2\qquad\qquad (3)\,(4-2a)\,x\,+\,a^2\,-\,4
[/mm]
[mm] (4)\,(4-2a)\,x\,-\,(a-2)^2\qquad\qquad (5)\,x\,-\,2.3 [/mm] |
Hallo.
Ich bearbeite gerade die o.g Aufgabe.
Meine Idee bisher:
Gesucht ist die Fläche unter dem Dreieck, dass sich aus der Tangente, 0 und den Schnittpunkten der Tangente mit der x und y Achse zusammensetzt.
Zunächst war es meine Idee, die Ableitung der Funktion zu bestimmen, sodass für beliebige x-Werte die dazugehörige Tangente bestimmt werden kann.
Diese Tangente hat, wie die Ausgangsfunktion den Punkt P(a;f'(a)).
[mm] \Rightarrow f(a)=f'(a)=-(a-2)^2
[/mm]
Die Tangente hat für a, den folgenden Wert: f'(a)=m=-2a+4
Da die Tangente eine lineare Form hat, kann man durch y=mx+b in P(x;y)
diese Werte übertragen.
P(a;f'(a))
[mm] y=f'(a)=-(a-2)^2
[/mm]
m=-2a+4
x=a
[mm] b=y-mx=-(a-2)^2+(2a-4)*a
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] -(a-2)=(-2a+4)*a-(a-2)^2+(2a-4)a
[/mm]
Da die GLeichung jedoch allgemeingültig sein soll für jedes x auf dieser Tangente gilt:
m=-2a+4
x=x
y=(-2a+4)*x*b
b bezieht man aus vorheriger GLeichung:
[mm] b=-a^2+4a-4+2a^2-4a=a^2-4
[/mm]
Damit wäre die richtige Lösung: Nummer (3)
Das war meine bisherige Idee.
Könnt ihr mir sagen, ob mein Gedanke in die richtige Richtung geht und mal drüberschauen.
Danke im Voraus :)
Viele Grüße
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Hallo Masseltof,
> Wir betrachten die Funktion
> [mm]f:\,[-1\,,\,3]\to\mathbb{R}\,,\quad f(x)\,=\,-(x-2)^2.[/mm]
>
> Die Tangente an den Graphen von f im Punkt
> [mm]P=\big(a\,,\,f(a)\big)\,,\quad a\in(0\,,\,2)\,,[/mm]
>
> bildet mit den Koordinatenachsen ein Dreieck mit Eckpunkten
> [mm]A,\,0[/mm] und [mm]B\,.[/mm]
>
> Im Bild ist der Graph von f rot eingezeichnet und die
> Tangente an f in P grün.
>
> Bestimmen Sie [mm]\,a\in(0\,,\,2)\,[/mm] so, dass der Flächeninhalt
> des Dreiecks maximal wird,
> und vervollständigen Sie die folgenden Aussagen:
>
> a:Die Tangente an den Graphen von f im Punkt P hat die
> Gleichung
>
> [mm]t_p(x)\,=\,[/mm]
>
> [mm](1)\,-3x^2\,+\,8x\,-\,4\qquad\qquad\qquad\qquad (2)\,2x\,-\,(a-2)^2\qquad\qquad (3)\,(4-2a)\,x\,+\,a^2\,-\,4[/mm]
>
> [mm](4)\,(4-2a)\,x\,-\,(a-2)^2\qquad\qquad (5)\,x\,-\,2.3[/mm]
>
> Hallo.
>
> Ich bearbeite gerade die o.g Aufgabe.
>
> Meine Idee bisher:
> Gesucht ist die Fläche unter dem Dreieck, dass sich aus
> der Tangente, 0 und den Schnittpunkten der Tangente mit der
> x und y Achse zusammensetzt.
>
> Zunächst war es meine Idee, die Ableitung der Funktion zu
> bestimmen, sodass für beliebige x-Werte die dazugehörige
> Tangente bestimmt werden kann.
>
> Diese Tangente hat, wie die Ausgangsfunktion den Punkt
> P(a;f'(a)).
>
> [mm]\Rightarrow f(a)=f'(a)=-(a-2)^2[/mm]
>
> Die Tangente hat für a, den folgenden Wert: f'(a)=m=-2a+4
>
> Da die Tangente eine lineare Form hat, kann man durch
> y=mx+b in P(x;y)
> diese Werte übertragen.
>
> P(a;f'(a))
> [mm]y=f'(a)=-(a-2)^2[/mm]
Hier muss es doch heißen:
[mm]y=\blue{f}(a)=-(a-2)^2[/mm]
> m=-2a+4
> x=a
> [mm]b=y-mx=-(a-2)^2+(2a-4)*a[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]-(a-2)=(-2a+4)*a-(a-2)^2+(2a-4)a[/mm]
>
> Da die GLeichung jedoch allgemeingültig sein soll für
> jedes x auf dieser Tangente gilt:
>
> m=-2a+4
> x=x
> y=(-2a+4)*x*b
Du meinst wohl
[mm] y=(-2a+4)*x\blue{+}b[/mm]
>
> b bezieht man aus vorheriger GLeichung:
> [mm]b=-a^2+4a-4+2a^2-4a=a^2-4[/mm]
>
> Damit wäre die richtige Lösung: Nummer (3)
>
>
> Das war meine bisherige Idee.
>
> Könnt ihr mir sagen, ob mein Gedanke in die richtige
> Richtung geht und mal drüberschauen.
Ja.
>
> Danke im Voraus :)
>
> Viele Grüße
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:36 Do 20.01.2011 | | Autor: | Masseltof |
Hallo und danke für die Antwort.
Ja ich meinte: mx+b
Viele Grüße und danke für die Kontrolle :)
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| Aufgabe | b)Die Koordinaten der Schnittpunkte sind [mm] A=(0\,,\,?) [/mm] und [mm] B=(?\,\,,\,0)
[/mm]
c)Der Flächeninhalt [mm] F:\,(0\,,\,2)\to[0\,,\,+\infty) [/mm] des Dreiecks in Abhängigkeit von a lautet
d)Für welches a wird der Flächeninhalt maximal?
[mm] 1)\,-2\qquad\qquad (2)\,2\qquad\qquad (3)\,\frac{3}{2}
[/mm]
[mm] (4)\,\frac{2}{3}\qquad\qquad\qquad (5)\,0
[/mm]
e)Wie lautet der maximale Flächeninhalt? |
Hallo.
Ich würde gerne wissen, ob der Rest der Teilösungen, die ich errechnet habe richtig sind.
Meine Rechnungen:
b) Für A wird nach dem y-Achsenabschnitt gesucht. Da a=konst. ist, die jedoch erst gewählt werden muss ist der gesuchte Term [mm] a^2-4.
[/mm]
Bei B hingegen wird die Nullstelle gesucht, für ein noch zu wählendes konstantes a.
[mm] 0=(4-2a)x+a^2-4 \Rightarrow \bruch{-a^2+4}{-2a+4}=x
[/mm]
[mm] x=\bruch{-a^2+4}{-2(a+2)} \Rightarrow x=\bruch{(-1)*(a^2-4)}{(-1)*(2(a-2))} \Rightarrow x=\bruch{a^2-4}{2(a-2)} [/mm] mit (a+2) erweitern [mm] \Rightarrow x=\bruch{a+2}{2}
[/mm]
c) In der Skizze bilden [mm] \overline{AO} [/mm] und [mm] \overline{OB} [/mm] ein Dreieck.
[mm] \overline{AO} [/mm] ist die Strecke von O zum y-Achsenabschnitt und [mm] \overline{OB} [/mm] die Strecke zur Schnittstelle mit der x-Achse.
O=(0,0). Dadurch hat das Dreieck als Grundseite und Höhe genau A und B.
Flächeninhalt für ein Dreieck [mm] \bruch{1}{2}*g*h=\bruch{1}{2}*\overline{AO}*\overline{OB}=\bruch{1}{2}*A*B=\bruch{(a^2-4)*(a+2)}{4}
[/mm]
d) Da a nur in (0,2] liegt, gilt [mm] a\not\le{0} [/mm] bzw. [mm] 0
Für 0 erhält man 0 , sodass nur noch [mm] \bruch{2}{3} [/mm] den größten Wert haben kann.
e) Hier bin ich mir nicht sicher, ob sich die Frage nicht auf d) bezieht.
Falls nicht müsste man für [mm] \bruch{(a^2-4)*(a+2)}{4}=y [/mm] das größte y finden (bzw. das kleinste, da der Flächeninhalt "negativ" ist).
Ich würde mich über eine Kontrolle und einen Hinweis sehr freuen.
Danke im Voraus.
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Hallo Masseltof,
> b)Die Koordinaten der Schnittpunkte sind [mm]A=(0\,,\,?)[/mm] und
> [mm]B=(?\,\,,\,0)[/mm]
>
> c)Der Flächeninhalt [mm]F:\,(0\,,\,2)\to[0\,,\,+\infty)[/mm] des
> Dreiecks in Abhängigkeit von a lautet
>
> d)Für welches a wird der Flächeninhalt maximal?
> [mm]1)\,-2\qquad\qquad (2)\,2\qquad\qquad (3)\,\frac{3}{2}[/mm]
>
> [mm](4)\,\frac{2}{3}\qquad\qquad\qquad (5)\,0[/mm]
> e)Wie lautet der
> maximale Flächeninhalt?
> Hallo.
>
> Ich würde gerne wissen, ob der Rest der Teilösungen, die
> ich errechnet habe richtig sind.
>
> Meine Rechnungen:
>
> b) Für A wird nach dem y-Achsenabschnitt gesucht. Da
> a=konst. ist, die jedoch erst gewählt werden muss ist der
> gesuchte Term [mm]a^2-4.[/mm]
>
> Bei B hingegen wird die Nullstelle gesucht, für ein noch
> zu wählendes konstantes a.
>
> [mm]0=(4-2a)x+a^2-4 \Rightarrow \bruch{-a^2+4}{-2a+4}=x[/mm]
>
> [mm]x=\bruch{-a^2+4}{-2(a+2)} \Rightarrow x=\bruch{(-1)*(a^2-4)}{(-1)*(2(a-2))} \Rightarrow x=\bruch{a^2-4}{2(a-2)}[/mm]
> mit (a+2) erweitern [mm]\Rightarrow x=\bruch{a+2}{2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> c) In der Skizze bilden [mm]\overline{AO}[/mm] und [mm]\overline{OB}[/mm] ein
> Dreieck.
> [mm]\overline{AO}[/mm] ist die Strecke von O zum y-Achsenabschnitt
> und [mm]\overline{OB}[/mm] die Strecke zur Schnittstelle mit der
> x-Achse.
> O=(0,0). Dadurch hat das Dreieck als Grundseite und Höhe
> genau A und B.
>
> Flächeninhalt für ein Dreieck
> [mm]\bruch{1}{2}*g*h=\bruch{1}{2}*\overline{AO}*\overline{OB}=\bruch{1}{2}*A*B=\bruch{(a^2-4)*(a+2)}{4}[/mm]
>
> d) Da a nur in (0,2] liegt, gilt [mm]a\not\le{0}[/mm] bzw. [mm]0
> Für 0 erhält man 0 , sodass nur noch [mm]\bruch{2}{3}[/mm] den
> größten Wert haben kann.
An sich liegt bei [mm]\bruch{2}{3}[/mm] ein negativer Wert vor.
Da aber Flächeninhalte nicht negativ werden können,
ist hier der Betrag zu nehmen, und der ist dort maximal.
>
> e) Hier bin ich mir nicht sicher, ob sich die Frage nicht
> auf d) bezieht.
> Falls nicht müsste man für [mm]\bruch{(a^2-4)*(a+2)}{4}=y[/mm]
> das größte y finden (bzw. das kleinste, da der
> Flächeninhalt "negativ" ist).
Die Teilaufgabe bezieht sich auf Teilaufgabe d).
>
> Ich würde mich über eine Kontrolle und einen Hinweis sehr
> freuen.
>
> Danke im Voraus.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Masseltof |
Hallo Mathepower.
Danke für die Antwort :)
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