F(x,y)=g(x)*h(y) < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man beweis, dass die Funktion
[mm] F(x,y)=(x-1975)^{1974}*(y-1976)^{1975}+1
[/mm]
nicht als Produkt zweier Funktionen g(x)*h(y) darstellbar ist, wobei die Funktionen g(x) und h(y) jeweils nur von einer Variablen abhängen. |
Meine Idee währe:
Zur Vereinfachung mach ich geeignete Substitutionen um auf die Funktion [mm] f(a,b)=a^{2}*b+1 [/mm] zu kommen.
Ich kann eine Nullstelle finden: f(1,-1)=0.
Das bedeutet, dass es auch ein g(a)*h(b)=0 geben muss, wobei entweder g(a)=0 oder h(b)=0.
aber [mm] a^{2}*b+1=0 \gdw b=-\bruch{1}{a^{2}}
[/mm]
somit währe die Nullstelle immer abhängig von beiden Variablen. Deshalb kann dieser (und der ausdruck in der Angabe) nicht als Produkt zweier unabhängigen Funktionen geschrieben werden.
Ist das Richtig, oder übersehe ich was?
Danke für die Hilfe, Martin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:53 Mi 22.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Man beweis, dass die Funktion
> [mm]F(x,y)=(x-1975)^{1974}*(y-1976)^{1975}+1[/mm]
> nicht als Produkt zweier Funktionen g(x)*h(y) darstellbar
> ist, wobei die Funktionen g(x) und h(y) jeweils nur von
> einer Variablen abhängen.
> Meine Idee währe:
> Zur Vereinfachung mach ich geeignete Substitutionen um auf
> die Funktion [mm]f(a,b)=a^{2}*b+1[/mm] zu kommen.
Das ist mir rätselhaft ! Ist bei Dir f=F ?
> Ich kann eine Nullstelle finden: f(1,-1)=0.
Hmm ... Da haben wirs: es ist aber F(1,-1) [mm] \ne [/mm] 0.
> Das bedeutet, dass es auch ein g(a)*h(b)=0 geben muss,
Du nimmst also F(x,y)=g(x)h(y) an ?
Was hat Dein f mit obigem F zu tun ???
> wobei entweder g(a)=0 oder h(b)=0.
> aber [mm]a^{2}*b+1=0 \gdw b=-\bruch{1}{a^{2}}[/mm]
> somit währe
> die Nullstelle immer abhängig von beiden Variablen.
> Deshalb kann dieser (und der ausdruck in der Angabe) nicht
> als Produkt zweier unabhängigen Funktionen geschrieben
> werden.
>
> Ist das Richtig,
Nein. Mit Verlaub, es ist wirr und nicht zu verstehen.
FRED
> oder übersehe ich was?
> Danke für die Hilfe, Martin
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:57 Mi 22.04.2015 | | Autor: | bounty007 |
mit f(a,b) hab ich nur eine vereinfachte funktion betrachtet. mit [mm] a=(x-1975)^{987} [/mm] und [mm] b=(y-1976)^{1975}. [/mm] das hab ich nur gemacht, damit ich nicht immer die ganze Funktion anschreiben muss.
[mm] f(1,-1)=1^{2}*(-1)+1=0, [/mm] ich beachte nur noch die Funktion klein f(a,b). weil wenn ich zeigen kann, dass diese nicht als Produkt schreibbar ist, dass ist auch F(x,y) also die Funktion in der Angabe nicht als Produkt zu schreiben
Ich kann aber auch, falls die Substitution unklar ist, das gleiche mit der Funktion in der Angabe argumentieren:
[mm] F(x,y)=(x-1975)^{1974}*(y-1976)^{1975}+1 [/mm] hat eine Nullstelle bei
F(1976,1975)=0.
Also muss auch das Produkt (falls es eins gibt) g(x)*h(y) eine Nullstelle besitzen. Da die Funktionen immer jeweils von nur einer Variable abhängen, müsste eine Nullstelle nur von x (oder nur von y) abhängig sein, was man aber durch umformen sieht, dass es nicht so ist:
[mm] (x-1975)^{1974}*(y-1976)^{1975}+1=0 \gdw y=\bruch{-1}{(x-1975)^{\bruch{1974}{1975}}}+1976
[/mm]
MfG Martin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Mi 22.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Man beweis, dass die Funktion
> [mm]F(x,y)=(x-1975)^{1974}*(y-1976)^{1975}+1[/mm]
> nicht als Produkt zweier Funktionen g(x)*h(y) darstellbar
> ist, wobei die Funktionen g(x) und h(y) jeweils nur von
> einer Variablen abhängen.
> Meine Idee währe:
> Zur Vereinfachung mach ich geeignete Substitutionen um auf
> die Funktion [mm]f(a,b)=a^{2}*b+1[/mm] zu kommen.
> Ich kann eine Nullstelle finden: f(1,-1)=0.
> Das bedeutet, dass es auch ein g(a)*h(b)=0 geben muss,
> wobei entweder g(a)=0 oder h(b)=0.
> aber [mm]a^{2}*b+1=0 \gdw b=-\bruch{1}{a^{2}}[/mm]
> somit währe
> die Nullstelle immer abhängig von beiden Variablen.
> Deshalb kann dieser (und der ausdruck in der Angabe) nicht
> als Produkt zweier unabhängigen Funktionen geschrieben
> werden.
>
> Ist das Richtig, oder übersehe ich was?
> Danke für die Hilfe, Martin
ich klau' Dir Deine Idee etwas, aber führe es mal anders aus:
Offenbar ist
[mm] $F(1976,\,1975)=\ldots=1*(-1)+1=0\,.$
[/mm]
Angenommen, es wäre doch [mm] $F(x,y)=g(x)*h(y)\,.$ [/mm] Dann folgt
[mm] $g(1976)*h(1975)=0\,,$
[/mm]
also [mm] $g(1976)=0\,$ [/mm] oder [mm] $h(1975)=0\,.$
[/mm]
1. Fall: Angenommen, es ist [mm] $g(1976)=0\,.$ [/mm] Dann ist auch
[mm] $F(1976,1976)=g(1976)*h(1976)=0\,.$
[/mm]
Aber offenbar ist
[mm] $F(1976,1976)=1^{1974}*0^{1975}+1=1\,.$
[/mm]
Widerspruch.
Zeige nun, dass auch der
2. Fall: Angenommen, es ist [mm] $h(1976)=0\,.$ [/mm] ...
zu einem Widerspruch führt.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:05 Mi 22.04.2015 | | Autor: | bounty007 |
Hi Marcel,
Danke, deine Erklärung ist eindeutig leichter verständlich als meine, danke für die Erklärung!
Lg Martin
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