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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:24 Sa 23.09.2006 | | Autor: | Fanca |
| Aufgabe | In einer Firma werden Radiogeräte hergestellt. Bei einer Wochenproduktion von x Radiogeräten entstehen fixe Kosten von 2000 Euro und variable Kosten, die durch [mm] 60x+0,8x^2 [/mm] (in ) näherungsweise beschrieben werden können.
a) Bestimmen sie die wöchentlichen Gesamtkosten. zeichnen sie den Graphen im Bereich x zwischen 0 und 140
b) Die Firma verkauft alle wöchentlich produzierten Geräte zu einem Preis von 180 Euro pro Stück. Geben sie den wöchentlichen Gewinn an und zeichnen sie den Graphen der Gewinnfunktion in ein Koordinatensystem.
c) Bei welchen Produktionszahlen macht die Firma Gewinn? Bei welcher Produktionszahl ist der Gewinn am größten?
d) Wegen eines Überangebotes auf dem Markt muss die Firma den Preis senken. Ab welchem Preis macht die Firma keinen Gewinn mehr?
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
An sich hört sich die Aufgabenstellung ja erstmal (zumindest bezogen auf a) und b) ) nicht ganz so schwer an. Aber trotzdem steh ich aufm Schlauch.
Das man bei a) eine Wertetabelle anlegen muss, weiß ich. Aber ich glaube, ich beginne erstmal total falsch:
Hab die 2000 nämlich in die vorhandene Funktion eingesetzt, dann per Wertetabelle ein KO gezeichnet, aber das kann nicht stimmen.
Nunja.. da ich allgemein nicht so viel Ahnung habe und ausführliche Beschreibungen brauche, WARUM denn gerade nun das so oder so gerechnet werden muss, würde ich denjenigen/diejenige bitten (sofern die Zeit es zulässt!!  ), mir die Aufgaben ausführlich zu erklären. DANKE!
Ich hab auch schon gesehen, dass diese Aufgabe hier schonmal gestellt wurde, aber da blick ich nicht ganz durch, da die Lösung nicht eindeutig angegeben wurde!
Liebe Grüße,
Fanca
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:07 Sa 23.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
a)
Die Funktionsgleichung lautet: k(x)=0,8x²+60x+2000. Diese 2000 sind die Kosten, die immer auftreten! Selbst wenn man 0 Radios herstellt. Deshalb sieht die Kostenfunktion k(x) aus wie eine nach oben verschobene Parabel! Und wenn x=0 ist, sollte k(x)=2000 sein. Bei steigenden x müsste k(x) auch steigen.
b)
Der Gewinn ist ja: Die Einnahmen, die man durch die verkauften Radios erwirtschaftet minus die Kosten die man für die Produktion braucht!
Die Kostenfunktion k(x) hast du ja gegeben, bzw. musstest sie halbwegs aufstellen.
k(x)=0,8x²+60x+2000
Dann fehlt noch die Funktion, die die Einnahmen beschreibt. Diese wäre e(x)=180x, da man ja für 1 Radio 180 kriegt und x die Anzahl der Radios ist.
Mein erster Satz bei b) also formelhaft:
(g(x) ist meine Gewinnfunktion)
g(x)=e(x)-k(x)
g(x)=180x-(0,8x²+60x+2000)
g(x)=-0,8x²+120x-2000
Diese müsstest du ebenfalls zeichnen.
c)
(Ich mache erstmal die 1. Teilaufgabe, also wann man überhaupt Gewinn macht)
e(x) läuft ja die meiste Zeit unter k(x) (kannst dir ja die Einnahmenfunktion mal dazu zeichnen)
Also die Einnahmen sind meistens geringer als die Kosten. Und c) verlangt, dass du herausfindest, wann die Einnahmen mal größer als die Kosten sind.
Das heißt: Der Gewinn soll größer als 0 sein.
Formelhaft:
g(x)>0
-0,8x²+120x-2000>0.
Das wäre eine Möglichkeit, die mir aber nicht gefallen würde. Die andere Möglichkeit wäre, dass du die die Schnittpunkte von k(x) und e(x) suchst, da zwischen ihnen e(x) größer ist, also die Einnahmen größer als die Kosten sind.
Also:
e(x)=k(x)
180x=0,8x²+60x+2000
Und nach x auflösen. Und zwischen den beiden Werten, die du rauskriegen solltest, würde die Firma berhaupt Gewinn machen.
Nun zum maximalen Gewinn:
Der maximale Gewinn ist da, wo die Gewinnfunktion g(x) seinen Extrempunkt hat. Also musst du g(x) einmal ableiten und dann 0 setzen, um diesen Extrempunkt zu bestimmen!
Da es sich bei der Gewinnfunktion g(x) um eine umgedrehte Parabel handelt (wegen dem -0,8x²), wird dieser Extrempunkt ein Maximum sein.
d)
Wenn kein Gewinn mehr da sein soll, muss also k(x) immer größer bzw. gleich e(x) sein.
Das heißt, dass, wenn man e(x) und k(x) schneiden lässt, ein Schnittpunkt rauskommt.
k(x)=0,8x²+60x+2000
e(x)=ax, wobei a der neue Preis sein soll, den wir noch nicht kennen. Er muss natürlich kleiner als 180 sein.
Also setzt man diese beiden wieder gleich:
k(x)=e(x)
0,8x²+60x+2000=ax
0,8x²+60x-ax+2000=0
x ausklammern.
0,8x²+x(60-a)+2000=0 |:0,8
[mm] x²+\bruch{5}{4}*(60-a)x+2500=0
[/mm]
Nun wendest du die p-q-Formel an um die Schnittpunkte zu berechnen.
Wichtig hierbei ist nun, was unter der Wurzel steht! Wenn es nur einen Schnittpunkt geben soll, dann muss unter der Wurzel 0 stehen!
Also wendest du ganz normal die p-q-Formel an und setzt das,w as unterd er Wurzel steht, gleich 0. Dann erhälst du einen Wert für a, für den die Einnahmenfunktion e(x) nur einen Schnittpunkt mit k(x) hat.
Da wir ja vorhin festgestellt haben, dass k(x) immer über e(x) liegt, außer zwischen ihren Schnittpunkten, können wir jetzt sagen, dass e(x) nicht mehr über k(x) liegt, da es ja nur noch einen Schnittpunkt gibt und nicht 2, zwischen denen e(x) größer sein kann!
Man, man, man, eine Menge Text, aber ich hoffe, dass die Grundgedanken klar sind! Aber frag ruhig nochmal nach.
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[mm]x²+\bruch{5}{4}*(60-a)x+2500=0[/mm]
pq-Formel:
[mm] -\bruch{5}{8}(60-a) \pm \sqrt{\bruch{25}{64}(60-a)^2 - 2500} [/mm]
Wie bereits oben beschrieben soll gelten:
[mm]\bruch{25}{64}(60-a)^2 - 2500 = 0[/mm]
Viel Spaß beim Rechnen 
Gruß,
Gono.
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