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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Mimsi |
| Aufgabe | | Laut Gebührenordnung der Post durften bei Päckchen in Rollenform Länge und Grundkreisdurchmesser zusammen höchsten 100cm betragen. Wie sind die Maße zu wählen, damit der Rauminhalt möglichst groß wird? |
Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Habe sie schon oft gerechnet, aber jedes mal kommt bei mir ein total komisches Ergebnis raus.
Soweit bin ich gekommen:
V=π×r²×h soll maximiert werden und ist die Extremalbedingung.
2r+h=100 ist die Nebenbedingung.
Jetzt habe ich die Nebenbedingung auf eine variabel gebracht:
2r+h=100
--> h=100-2r
dann habe ich h in die Extremalbedingung gesetzt:
V=π×r²×(100-2r)
jetzt muss man doch die klammer auflösen, aber dieses pi verwirrt mich ein bisschen! Wäre es dann
V=100πr²-2πr³ ?
Dann habe ich r² ausgeklammert, also:
V=r²(100π-2πr)
r²=0 oder 100π-2πr=0
0=100π-2πr
--> 2πr=100π
und wenn ich dann 100π durch 2π rechne kommt bei mir diese Zahl raus:
493,4802201
und das kann ja irgendwie nicht sein, denn der Radius kann doch nicht so groß sein?!
Oder habe ich einen ganz falschen Rechenweg gewählt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
Bis hierher
> V=100πr²-2πr³ ?
ist alles perfekt richtig, aber dann ...
> Dann habe ich r² ausgeklammert, also:
> V=r²(100π-2πr)
> r²=0 oder 100π-2πr=0
Worauf willst du denn jetzt hinaus : Suchst du die Nullstellen von V ?
Nein, du suchst die Extremalstellen von V. Die dafür notwendige Bedingung ist ...
> 0=100π-2πr
> --> 2πr=100π
> und wenn ich dann 100π durch 2π rechne kommt bei mir
> diese Zahl raus:
das kann man doch im Kopf rechnen ! (bei mir kommt diese Zahl raus : 2)
> 493,4802201
> und das kann ja irgendwie nicht sein, denn der Radius kann
> doch nicht so groß sein?!
gut erkannt.
Du hast folgenden Fehler gemacht :
Um [mm] \bruch{100*\pi}{2*\pi} [/mm] mit dem Taschenrechner auszurechnen, muss man folgende Tasten drücken : 100 x [mm] \pi [/mm] : 2 : [mm] \pi [/mm] =
Du hast [mm] \bruch{100*\pi}{2}*\pi [/mm] berechnet.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:34 Sa 23.10.2010 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> > 0=100π-2πr
> > --> 2πr=100π
> > und wenn ich dann 100π durch 2π rechne kommt bei mir
> > diese Zahl raus:
>
> das kann man doch im Kopf rechnen ! (bei mir kommt diese
> Zahl raus : 2)
Aller guten Dinge sind drei, denn bei mir kommt diese Zahl raus: 50
Gruß,
notinX
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> V=π×r²×h soll maximiert werden und ist die
> Extremalbedingung.
> 2r+h=100 ist die Nebenbedingung.
> Jetzt habe ich die Nebenbedingung auf eine variabel
> gebracht:
> 2r+h=100
> --> h=100-2r
> dann habe ich h in die Extremalbedingung gesetzt:
> V=π×r²×(100-2r)
> jetzt muss man doch die klammer auflösen, aber dieses pi
> verwirrt mich ein bisschen!
Hi Mimsi,
da das [mm] \pi [/mm] hier als Faktor vor dem ganzen Rest steht, lässt
du es am besten einfach da stehen ! Mit Ausmultiplizieren
machst du dir die Rechnung unnötigerweise unübersichtlich.
Nachher interessieren ja insbesondere die Lösungen der
Gleichung V'(r)=0 .
Denke an die Ableitungsregel:
wenn $\ V(r)\ =\ c*f(r)$ , dann ist $\ V'(r)\ =\ c*f'(r)$
LG Al-Chw.
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