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hi ihr,
danke, dass ihr reinschaut.
ich habe eine aufgabe, wo ich erstmal nur einen ansatz brauche!
die aufgabe ist:
betrachtet wird eine kurvenschar [mm] f(x)=t*(e^{-x}-e)
[/mm]
der punkt [mm] P[u/t*(e^{-u}-e)] [/mm] sei ein beliebiger punkt auf jeder kurve der schar im 4. quadranten. die parallelen zu den koordinatenachsen durch P bilden mit der y-Achse und der zugehörigen asymptotenfunktion f(x)=-te ein rechteck.
bestimme die maßzahl des maximalen flächeninhaltes des rechtecks. gebe die punkte P für den maximalen flächeninhalt an.
gruß anni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 Fr 15.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Annika!
Hast du dir mal eine Skizze gemacht?
Für festes $t$ ist der Flächeninhalt des Rechtecks in Abhängigkeit von $u$:
[mm] $A_t(u) [/mm] = u [mm] \cdot [/mm] (t [mm] \cdot e^{-u})$.
[/mm]
Siehst du das?
Wie könnte man jetzt weitermachen? Hast du eine Idee? 
Viele Grüße
Julius
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 16:36 Fr 15.04.2005 | | Autor: | anni-1986 |
hi julius,
eine skizze habe ich vorliegen. ich kann das auch so einigermaßen nachvollziehen.
was passiert denn mit der asymptotenfunktion. muss die nicht beachtet werden?
wenn ich die funktion aufgestellt habe, weiss ich weiter.
gruß anni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:43 Fr 15.04.2005 | | Autor: | anni-1986 |
hi julius,
ich glaube, ich weiss schon bescheid. ich probier mal mein bestes 
gruß anni
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hi,
ich habe doch noch ein problem. also mit der aufgestellten funktion bestimme ich doch dann extrema, um den maximalen flächeninhalt auszurechen, oder?
aber was wird mit der asymptotenfunktion gemacht? und wie bestimme ich den punkt P? das leuchtet mir doch noch nicht so ganz ein.
gruß anni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 So 17.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Annika!
> ich habe doch noch ein problem. also mit der aufgestellten
> funktion bestimme ich doch dann extrema, um den maximalen
> flächeninhalt auszurechen, oder?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Ganz genau! Und das mit den bekannten Methoden (Nullstellen der 1. Ableitung etc.) ...
> aber was wird mit der asymptotenfunktion gemacht? und wie
> bestimme ich den punkt P? das leuchtet mir doch noch nicht
> so ganz ein.
Na, da habe ich mal eine kleine Skizze vorbereitet ...
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das gesuchte Rechteck hat einen Flächeninhalt von [mm] $A_{Rechteck} [/mm] \ = \ a * b$.
Dabei entspricht die horizontale Seite $a$ genau unserem gesuchten Wert $u$.
Dieser soll ja im 4. Quadranten genau auf dem Funktionsgraphen liegen. Also ist $P$ der Schnittpunkt der beiden orangen Linien.
Es gilt also: $a \ = \ u$
Die vertikale Seite $b$ entspricht nun genau dem Abstand des Funktionswertes [mm] $y_u [/mm] \ = \ f(u)$ bis zu der Asymptote $y \ = \ -t*e$
Es gilt also:
$b \ = \ y - [mm] y_u [/mm] \ = \ -t*e - [mm] \left(t*e^{-u} - t*e\right) [/mm] \ = \ -t*e - [mm] t*e^{-u} [/mm] + t*e \ = \ - [mm] t*e^{-u}$
[/mm]
Wenn wir das nun einsetzen in die Flächenformel, erhalten wir (fast) genau die Funktion, die uns Julius bereits angegeben hat:
$A(u) \ = \ a * b \ = \ u * [mm] (-t)*e^{-u}$
[/mm]
Und hiermit jetzt unsere Extremwertberechnung durchführen ...
Nun klar(er) ??
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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hi loddar,
danke für deine tolle darstellung. nun würde ich gerne wissen, ob mein ergebnis richtig ist. ich habe für die fläche [mm] -te^{-1} [/mm] raus. Für u habe ich u=1.
um den punkt zu bestimmen, muss ich doch einfach u=1 dort einsetzen, oder?
dann wird noch am schluss gefragt: auf welcher ortlinie liegen alle punkte [mm] P(u/t*(e^{-u}-e))? [/mm]
ich habe als ortslinie:
y=t(e{-x}-e) (war sehr einfach , wenn es richtig ist)
gruß anni
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Das stimmt nicht! Allein von der Anschauung her kann das nicht stimmen.
