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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 Di 28.03.2006 | | Autor: | Sephi |
| Aufgabe | Aus einem quadratischen Karton von 10 cm Seitenlänge werden vier kongruente, gleichschenklige Dreiecke, deren Grundseiten die Quadratseiten sind, so heraus geschnitten, das das Netz einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche übrigbleibt.
Wie lang ist die Grundkante der Pyramide zu wählen, damit das Volumen der Pyramide ein Maximum wird? |
Ich weiß, wie die Dreiecke auf dem Karton aufgezeichnet werden müssen, damit das Netz entsteht und dass ich die Volumen-Gleichung der Pyramide ableiten und die Ableitung Null setzen muss.
Da in der Gleichung aber zwei Unbekannte stehen, brauche ich eine weitere Gleichung und auf die komm ich nicht.
Ich hoffe, dass mir jemand einen Ansatz geben kann, mit dem ich dann weiterkomme.
Vielen Dank im Voraus,
Sephi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:37 Di 28.03.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Stephanie,
> Aus einem quadratischen Karton von 10 cm Seitenlänge werden
> vier kongruente, gleichschenklige Dreiecke, deren
> Grundseiten die Quadratseiten sind, so heraus geschnitten,
> das das Netz einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche
> übrigbleibt.
> Wie lang ist die Grundkante der Pyramide zu wählen, damit
> das Volumen der Pyramide ein Maximum wird?
> Ich weiß, wie die Dreiecke auf dem Karton aufgezeichnet
> werden müssen, damit das Netz entsteht und dass ich die
> Volumen-Gleichung der Pyramide ableiten und die Ableitung
> Null setzen muss.
> Da in der Gleichung aber zwei Unbekannte stehen, brauche
> ich eine weitere Gleichung und auf die komm ich nicht.
> Ich hoffe, dass mir jemand einen Ansatz geben kann, mit
> dem ich dann weiterkomme.
Wenn du die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche der Pyramide als Unbekannte x nimmst, dann müßtest du aus deinem Kartonbild die Kantenlänge der Pyramide mit dem Pythagoras ausrechnen können (in Abhängigkeit von x natürlich). Diese Kante ist die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck.
Und aus der Kante der P. und der halben Diagonalen der Grundfläche kannst du die Höhe ausrechnen, ebenfalls Pythagoras, ebenfalls in Abhängigkeit von x.
Und aus beiden Größen kannst du dann hoffentlich eine Formel für das Volumen herleiten und nach x ableiten!
Versuch's mal! Leider kann ich hier nicht zeichnen...
Gruß aus HH_Harburg
Dieter
PS: Die Lösung (ohne Gewähr) ist x = [mm] 4\wurzel{2}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:55 Di 28.03.2006 | | Autor: | subclasser |
Hier einmal eine kleine Skizze zur Veranschaulichung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Länge der violetten Strecke kannst du wie von statler beschrieben berechnen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Di 28.03.2006 | | Autor: | Sephi |
Erst mal Danke für die schnellen Antworten.
Wenn ich das jetzt richtig gemacht habe, kommt für Kante [mm] \wurzel{(x^2-x \wurzel{200}+50)/2} [/mm] raus und für h = [mm] \wurzel{(50-x\wurzel{200})/2}.
[/mm]
Die Volumengleichung ist dann [mm] 1/3x^2*\wurzel{(50-x\wurzel{200})/2}
[/mm]
Jetzt weiß ich allerdings nicht wie ich so eine Wurzel ableiten kann. Ich kann sie zwar als [mm] [(50-x\wurzel{200})/2]^\bruch{1}{2} [/mm] schreiben, aber damit komm ich auch nicht weiter.
Bin für jede weitere Erklärung dankbar,
Sephi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Di 28.03.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo Sephi,
die Aufgabe muß mit einem Trick, vermutlich der richtigen Wahl des x, funktionieren. Denn in der 11. Klasse lernt man selten, so einen Wurzelausdruck abzuleiten. Das geht erst mal auch mit der Potenzregel also [mm]x^{\frac{1}{2}'} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}[/mm]. Dann mußt Du aber auch noch die Kettenregel anwenden. So kommst Du zum Ziel. Mein Wert für k ist etas anders. Mein Extremum liegt bei [mm]5 \sqrt{2}[/mm] oder [mm]\frac{2 \sqrt{2}}{5}[/mm], aber auch das müßte ich noch mal kontrollieren.
Also, ich würde mal schauen, ob es mit einer anderen Wahl des x, z.B. Höhe im Dreieck das von x und zwei Kanten gebildet wird, besser geht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:47 Di 28.03.2006 | | Autor: | Sephi |
Danke, das macht die Aufgabe schon übersichtlicher, aber jetzt muss ich
[mm] \wurzel{x*\wurzel{200}-50} [/mm]
ableiten.
Mir ist zwar klar, das ich die Potenzregel anwenden muss, aber ich weiß nich wie ich die auf eine Wurzel anwende, unter der eine Summe/Differenz steht.
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Hallo und einen guten Morgen zusammen,
Freunde von Funktionen und Ableitungen,
zu f(x) [mm] =\sqrt{ \sqrt{200}\cdot x-50} [/mm] = [mm] (\sqrt{200}\cdot [/mm] x [mm] -50)^{\frac{1}{2}}
[/mm]
ist doch einfach
f'(x) = [mm] \frac{1}{2}\cdot (\sqrt{200}\cdot [/mm] x [mm] -50)^{-\frac{1}{2}}\cdot \sqrt{200}
[/mm]
Alles klar soweit ?
Viel Spass zusammen,
Gruss,
Mathias
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Da du Wurzelfunktionen nicht ableiten kannst, würde ich einfach die gesamte Formel für das Volumen quadrieren. Das bietet sich an, weil wir keine Summe im Term haben und so nicht die binomischen Formeln bemühen müssen.
Dadurch ändern sich die Extremstellen nicht (es können aber evtl. falsche Lösungen entstehen) und du kannst bequem ableiten und die Ableitung auf Nullstellen untersuchen.
Du solltest anschließend aber nicht die Probe vergessen.
Soviel zu meinem Vorschlag.
Ich bin mir nicht 100%-ig sicher, ob dieser Weg wirklich mathematisch korrekt ist. Deswegen würde ich mich über einen Kommentar freuen!
Gruß,
Stephan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Mi 29.03.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo an beide
Das Quadrat einer Funktion hat diesselben lokalen Extrema wie die Funktion selbst, falls diese Extrema hat. Allerdings kann das Quadrat zusätzliche Extrema an den Nullstellen der Funktion haben.
Nachweis: rechnerisch:
[mm] $(f^2(x))'=2f(x)*f'(x)$ [/mm] hat alle Nullstellen von f'
Nachweis qualitativ mit Fallunterscheidung:
a) Max, Min mit f(xm)>0 durch quadrieren werden Ungleichungen für pos. Zahlen erhalten, d.h. größßte und kleinst Werte bleiben das.
b) f(xm)<0 aus Max wird Min, aus Min wird Max.
Bei Minimaxaufgaben für Volumen oder Flächen, ist es sehr häufig günstiger die Min oder Max der Quadrate zu berechnen!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:18 Mi 29.03.2006 | | Autor: | chrisno |
Nimm die Höhe der Pyramide als x. Dann geht alles fast wie von alleine und ist auf einer halben Seite erledigt. Du bekommst für das Volumen ein Polynom mit fünfter , dritter und erster Potenz von x. Nach dem Ableiten ergibt sich eine biquadratische Gleichung. Mit der Substitution y=x*x wird das ein normale quadratische Gleichung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mi 12.05.2010 | | Autor: | praetorius |
Hallo,
ich habe gerade die selbe Aufgabe im Unterricht zu lösen. Ich habe einen Ansatz zur Lösung erstellt, stelle aber fest, dass die Differenzierung der Funktionsgleichung umständlicher nicht sein kann (so müsste ich für die 2. Ableitung die Seite querlegen^^). Daher vermute ich einen Denkfehler in meiner Ausgangsgleichung.
V(g;i) = 0.25*g²*i
a = 10 {Grundlinie des Kartons}
b = (h² + 25) ^0.5 {Seite des gleichschenkl. Dreiecks}
p = (5 - h) {Hälfte der Diagonale der Pyramidengrundfläche}
g = (5 - h)*2 ^0.5 {Seite der Pyramidengrundfläche}
i = (b² - p²) ^0.5 = [(h² + 25) - (5 - h)²] ^0.5 {Höhe i der Pyramide}
h = Höhe des ausgeschnittenen Dreiecks
Substition: h = x
=> V = f(x) = 0.5*(5 - [mm] x)²*((x^2 [/mm] + 25) - (5 - [mm] x)²)^0.5
[/mm]
Anmerkung:
Soeben wurde der Denkfehler gefunden! Ich habe vergessen beim einsetzen von "b" in "i" die Wurzel aufzulösen (b wird quardiert). Ich hoffe mein Lösungsansatz hilft dir weiter.
Grüße, Jörg
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