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hallo,
eine bestimmt einfach Frage für euch:
Sie wollen ein Päckchen in Rollenform ins Ausland schicken. Nach der Gebührenordnung der Post darf die Länge und der zweifache Durchmesser zusammen höchstens 104 cm betragen. Wie müssen Sie Länge und Durchmesser wählen, damit das Volumen möglichst groß wird? (Hinweis: Volumen = [mm] \pi [/mm] × Radius2 × Länge)
Ich habe mir folgendes überlegt:
V = [mm] \pi [/mm] * [mm] r^2 [/mm] *l
l + 4r = 104
=> l = 104 - 4r
=> V = [mm] \pi [/mm] * [mm] r^2 [/mm] * (104-4r)
Die 1.Ableitung davon wäre dann [mm] -12*\pi*r^2 [/mm] + [mm] 208*\pi*r
[/mm]
richtig?
jetzt muss ich die Nullstellen bestimmen und dann das Maxima suchen?
wie bestimme ich die Nullstellen am besten?
sorry für die einfach Frage,
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Danke für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 Di 17.08.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Servus Mathe-Rookie
> Sie wollen ein Päckchen in Rollenform ins Ausland schicken.
> Nach der Gebührenordnung der Post darf die Länge und der
> zweifache Durchmesser zusammen höchstens 104 cm betragen.
> Wie müssen Sie Länge und Durchmesser wählen, damit das
> Volumen möglichst groß wird? (Hinweis: Volumen = [mm]\pi[/mm] ×
> Radius2 × Länge)
>
> Ich habe mir folgendes überlegt:
>
> V = [mm]\pi[/mm] * [mm]r^2[/mm] *l
> l + 4r = 104
> => l = 104 - 4r
> => V = [mm]\pi[/mm] * [mm]r^2[/mm] * (104-4r)
>
> Die 1.Ableitung davon wäre dann [mm]-12*\pi*r^2[/mm] + [mm]208*\pi*r
[/mm]
> richtig?
Ja, das stimmt soweit, Reduktion auf eine Unbekannte, Ableitung.
> jetzt muss ich die Nullstellen bestimmen und dann das
> Maxima suchen?
Ja, das ist die übliche Methode.
> wie bestimme ich die Nullstellen am besten?
Am besten Folgendermaßen:
[mm] $-12*\pi*r^2 [/mm] + [mm] 208*\pi*r [/mm] = r * [mm] \pi [/mm] * (208 - 12 * r) = f(r)$
$f(r) = 0 [mm] \gdw r_1 [/mm] = 0$ oder [mm] $\pi [/mm] * (208 - 12 * [mm] r_2) [/mm] = 0 [mm] \gdw 12*r_2 [/mm] = 208 [mm] \gdw r_2 [/mm] = [mm] \bruch{52}{3}$
[/mm]
Mir nem Radius von 0 dürfte das Volumen auch recht klein sein, die andere Extremstelle liegt bei $r = [mm] \bruch{52}{3}$, [/mm] das ist ein positiver Wert und $4*r$ ist als [mm] $\bruch{208}{3}$ [/mm] kleiner als 104, also ist auch $l$ positiv und Du hast einen vernünftigen Wert.
> sorry für die einfach Frage,
Die einfachen Fragen sind die schönsten ;)
/e
Diese Antwort wurde korrigiert
greetz
AT-Colt
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hallo,
> Am besten Folgendermaßen:
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> [mm]-12*\pi*r^2 + 208*\pi*r = r * \pi * (208 - 12 * r) = f(r)[/mm]
>
> [mm]f(r) = 0 \gdw r_1 = 0[/mm] oder [mm]\pi * (208 - 12 * r_2) = 0 \gdw 12*r_2 = 208 \gdw r_2 = \bruch{26}{3}[/mm]
>
>
> Mir nem Radius von 0 dürfte das Volumen auch recht klein
> sein, die andere Extremstelle liegt bei [mm]r = \bruch{26}{3}[/mm],
> das ist ein positiver Wert und [mm]4*r[/mm] ist als [mm]\bruch{104}{3}[/mm]
> kleiner als 104, also ist auch [mm]l[/mm] positiv und Du hast einen
> vernünftigen Wert.
stimmt, so einfach ist das, vielen Dank!
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 Di 17.08.2004 | | Autor: | michael7 |
Hallo,
> [mm]f(r) = 0 \gdw r_1 = 0[/mm] oder [mm]\pi * (208 - 12 * r_2) = 0 \gdw 12*r_2 = 208 \gdw r_2 = \bruch{26}{3}[/mm]
sollte das nicht [mm]\frac{52}{3} \approx 17.33[/mm] sein?
Michael
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Di 17.08.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hm... ja, macht mehr Sinn ^^
greetz
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:39 Di 17.08.2004 | | Autor: | nitro1185 |
Hallo!!
Du bist beinahe fertig!!Du musst dir vorstellen, dass du hier eine Funktion hast und du das maximum berechnen willst---also das maximale r!!
Diesen werd findest du, indem du f´(r)=0 (Nullsetzt)!!!
also: 208r-12r²=0
.........
du kannst die Zahl "Pi" bei der ableitung weglassen,da sie eine komnstante ist!!!
Gruß Daniel
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hi,
> Du bist beinahe fertig!!Du musst dir vorstellen, dass du
> hier eine Funktion hast und du das maximum berechnen
> willst---also das maximale r!!
>
> Diesen werd findest du, indem du f´(r)=0 (Nullsetzt)!!!
>
> also: 208r-12r²=0
Vielen Dank erstmal, so hatte ich das vor, nur an den nullstellen hats noch gehangen.
> du kannst die Zahl "Pi" bei der ableitung weglassen,da sie
> eine komnstante ist!!!
jetzt verwirrst du mich, ich habe das [mm] \pi [/mm] jetzt als Faktor von r gesehen und es deswegen in der Ableitung gelassen. Hab ich da was falsch verstanden?
Gruß,
mathe-rookie
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Hallole,
stimmt schon, dass pi ein faktor vor r ist, aber du kannst ihn ja ausklammern und dann durch pi teilen
[mm] -12pir^2+208pir [/mm] = 0
pi*r (-12*r + 208) =0 I/pi*
-12*r + 208=0 und r1=0
gruß karin
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