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Extremwertkandidaten: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:38 Do 05.07.2012
Autor: Hejo

Aufgabe
Bestimmen Sie nach der Multiplikatorenregel von Lagrange alle Punkte, die für die gegebenen Funktionen unter den jeweiligen Nebenbedingungen als Extremalpunkte in Frage kommen.
[mm] a)z=x^2+y^2, [/mm] mit [mm] (x-2)^2+y^2-9=0 [/mm]
b)z= [mm] 2x^2+y^2, [/mm] mit [mm] x-y^2+1=0 [/mm]

Hi,
zu a)
[mm] Z(x;y;\lambda)=x^2+y^2-\lambda((x-2)^2+y^2-9) [/mm]
[mm] Z_x=2x-\lambda(2x-4)=0 [/mm]
[mm] Z_y=2y-\lambda2y=0 [/mm]
[mm] Z_\lambda=-((x-2)^2+y^2-9)=0=(x-2)^2+y^2-9=0 [/mm]

hier folgt aus der Gleichung [mm] Z_x=2x-\lambda(2x-4)=0, [/mm] dass [mm] \lambda=\frac{2x}{2x-4}. [/mm] das ist nicht lösbar.
In der Lösung des Tutoriums stehen aber die Lösungen [mm] P_1(5;0) [/mm] und [mm] P_2(-1;0). [/mm]

Hab ich mich hier irgendwo verrechnet?

zu b)
[mm] Z(x;y;\lambda)=2x^2+y^2-\lambda(x-y^2+1) [/mm]
[mm] Z_x=4x-\lambda=0 [/mm]
[mm] Z_y=2y+2y\lambda=0 [/mm]
[mm] Z_\lambda=-x+y^2-1=0 [/mm]

Aus [mm] Z_x [/mm] folgt [mm] \lambda=4x [/mm]
Aus [mm] Z_y [/mm] folgt [mm] \lambda=-1 [/mm] und damit [mm] x=-\frac{1}{4} [/mm]
Aus [mm] Z_\lambda [/mm] folgt [mm] y=\pm\sqrt(x+1)=\pm\frac{\sqrt(3)}{2} [/mm]

Extremwertkandidaten sind somit [mm] P_1(-\frac{1}{4};\frac{\sqrt(3)}{2}) [/mm] und [mm] P_2(-\frac{1}{4};-\frac{\sqrt(3)}{2}) [/mm]

Auch hier steht in der Lösung noch [mm] P_3(-1;0)... [/mm]

Auch auf diese Lösung komme ich nicht! Hat jemand eine idee??

        
Bezug
Extremwertkandidaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:55 Do 05.07.2012
Autor: MathePower

Hallo Hejo,

> Bestimmen Sie nach der Multiplikatorenregel von Lagrange
> alle Punkte, die für die gegebenen Funktionen unter den
> jeweiligen Nebenbedingungen als Extremalpunkte in Frage
> kommen.
>  [mm]a)z=x^2+y^2,[/mm] mit [mm](x-2)^2+y^2-9=0[/mm]
>  b)z= [mm]2x^2+y^2,[/mm] mit [mm]x-y^2+1=0[/mm]
>  Hi,
>  zu a)
>  [mm]Z(x;y;\lambda)=x^2+y^2-\lambda((x-2)^2+y^2-9)[/mm]
>  [mm]Z_x=2x-\lambda(2x-4)=0[/mm]
>  [mm]Z_y=2y-\lambda2y=0[/mm]
>  [mm]Z_\lambda=-((x-2)^2+y^2-9)=0=(x-2)^2+y^2-9=0[/mm]
>  
> hier folgt aus der Gleichung [mm]Z_x=2x-\lambda(2x-4)=0,[/mm] dass
> [mm]\lambda=\frac{2x}{2x-4}.[/mm] das ist nicht lösbar.


Setze dieses [mm]\lambda[/mm]  in [mm]Z_{y}=0[/mm] ein.
Aus dieser Gleichung folgt die Lösung für eine Variable.

Setze diese Lösung in [mm]Z_{\lambda}=0[/mm] ein.
und ermittle den Wert der anderen Variablen.


> In der Lösung des Tutoriums stehen aber die Lösungen
> [mm]P_1(5;0)[/mm] und [mm]P_2(-1;0).[/mm]
>
> Hab ich mich hier irgendwo verrechnet?
>  
> zu b)
>  [mm]Z(x;y;\lambda)=2x^2+y^2-\lambda(x-y^2+1)[/mm]
>  [mm]Z_x=4x-\lambda=0[/mm]
>  [mm]Z_y=2y+2y\lambda=0[/mm]
>  [mm]Z_\lambda=-x+y^2-1=0[/mm]
>  
> Aus [mm]Z_x[/mm] folgt [mm]\lambda=4x[/mm]
>  Aus [mm]Z_y[/mm] folgt [mm]\lambda=-1[/mm] und damit [mm]x=-\frac{1}{4}[/mm]
>  Aus [mm]Z_\lambda[/mm] folgt [mm]y=\pm\sqrt(x+1)=\pm\frac{\sqrt(3)}{2}[/mm]
>  
> Extremwertkandidaten sind somit
> [mm]P_1(-\frac{1}{4};\frac{\sqrt(3)}{2})[/mm] und
> [mm]P_2(-\frac{1}{4};-\frac{\sqrt(3)}{2})[/mm]
>  
> Auch hier steht in der Lösung noch [mm]P_3(-1;0)...[/mm]
>  
> Auch auf diese Lösung komme ich nicht! Hat jemand eine
> idee??


Aus [mm]Z_{y}=0[/mm] folgen 2 Fälle:

i) [mm]\lambda+1=0[/mm]
ii) y=0

Der erste Fall ist schon behandelt worden,
bleibt noch der Fall ii).

Aus diesem folgt dann der Punkt [mm]P_{3}[/mm].


Gruss
MathePower

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