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| Aufgabe | | Man bestimme die globalen Maxima und Minima von [mm] f(x,y)=xy^2 [/mm] auf der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe in [mm] \IR^2 [/mm] |
Bisher haben wir:
[mm] f' = grad \, f = (y^2,2xy)= 0 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] y=0 und x beliebig
[mm] A=H_f-\lambda E=\begin{pmatrix}
-\lambda & 2y \\
2y & 2x-\lambda
\end{pmatrix}[/mm]
[mm]det A=-\lambda^2-2x\lambda-4y^2[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_1=0 [/mm] und [mm] \lambda_2=x
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] semidefinit aber weder positiv noch negativ, da x beliebig ist.
Das heißt nun für die Aufgabe was genau? Gibt es Extrema?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:57 Do 07.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Wir nehmen uns mal einen Punkt [mm] (x_0|0) [/mm] vor:
Fall 1: [mm] x_0 [/mm] = 0. Nun betrachte f auf der 1. Winkelhalbierenden.
Für x [mm] \not=0 [/mm] ist $f(x,x) = [mm] x^3$, [/mm] also ist
$f(x,x) > 0 = [mm] f(x_0,0) [/mm] $ für x>0 und $f(x,x) < 0 = [mm] f(x_0,0) [/mm] $ für x<0
Kann dann f in [mm] (x_0|0) [/mm] ein Extremum haben ?
Fall 2: [mm] x_0 [/mm] >0. Setze [mm] \epsilon [/mm] = [mm] x_0. [/mm] Für (x,y) in der offenen Kugel um [mm] (x_0,0) [/mm] mit Radius [mm] \epsilon [/mm] ist dann
$f(x,y) = [mm] xy^2 \ge [/mm] 0 = [mm] f(x_0,0)$
[/mm]
f hat also was im Punkt [mm] (x_0,0) [/mm] ?
Fall 2: [mm] x_0 [/mm] <0. Den machst Du mal selbst.
Mit der offenen Einheitskreisscheibe bist Du damit fertig [mm] (|x_0|<1)
[/mm]
Nun untersuche f auf dem Rand der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe
beachte: dort ist [mm] $y^2= 1-x^2$
[/mm]
FRED
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