Extremwerte R^2 < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:12 Do 07.06.2012 | | Autor: | Kevin22 |
| Aufgabe | Hallo ich habe eine frage zu einer aufgabe bei der ich nicht mehr weiss wie ich weiter vorgehen soll.
Gegeben sei die Funktion f R2 pfeil R mit:
f (x y ) = ( [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 )^2 [/mm] -2*( [mm] x^2 [/mm] - [mm] y^2 [/mm] )
Bestimmen Sie die Extrema der Funktion f , und entscheiden Sie jeweils, ob es sich um ein Maximum, ein Minimum oder
einen Sattelpunkt handelt.
Ich hab zuerst einmal die partiellen ableitungen bestimmt.
fx´ = [mm] 4x^3 +4xy^2 [/mm] - 4x
fy´= [mm] 4x^2 [/mm] *y [mm] +4y^3 [/mm] +4y
Aber wie gehe ich jetzt weiter vor? |
Ich habe die frage in keinem forum gestellt.
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Hallo
Bestimme zunächst alle [mm] (x_0,y_0), [/mm] sodass gilt [mm] grad(f)(x_0,y_0)=0. [/mm] (Notwendige Bedingung)
Dann kannst du die Hessematrix nutzen um zu schauen, ob es sich um ein Extrema (wenn ja, Maximum oder Minimum) oder um einen Sattelpunkt handelt.
Die Hesse-Matrix sieht wie folgt aus:
[mm] H(x_0,y_0)=\pmat{ f_{xx}(x_0,y_0) & f_{xy}(x_0,y_0) \\ f_{yx}(x_0,y_0) & f_{yy}(x_0,y_0) }
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Do 07.06.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Meine weiteren Ableitungen sind:
fxx(x ,y )= [mm] 12x^2 +4y^2 [/mm] -4
fyy (x , y)= [mm] 4x^2 +12y^2 [/mm] +4
Ich hoffe ich habe nichts falsch gemacht bei den Ableitungen.
Aber wie bestimme ich die Ableitungen fyx und fxy?
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Korrekt.
Für [mm] f_{xy} [/mm] und [mm] f_{yx} [/mm] berechne doch [mm] f_x [/mm] und leite dann noch einmal partiell nach y ab. Fertig. Und [mm] f_{xy}=f{yx} [/mm] wegen Satz von Schwarz. Also musst du nur einmal diese Ableitung bestimmen (zur Überprüfung aber gerne noch die andere).
Was sind die kritischen Punkte (notwendige Bedingung)? Hast du schon was?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Do 07.06.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Für die Gradienten habe ich jeweils 0 raus.
Die hesse matrix sieht bei mir so aus:
( -4 0
0 4
Aber wie gehe ich jetzt weiter vor?
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Für die kritschen Punkte bekommt man eben Punkte raus. Einer ist logischerweise (0,0), aber es gibt noch zwei weitere.
Man muss also das Gleichungssystem
I [mm] f_x=0
[/mm]
II [mm] f_y=0
[/mm]
lösen.
Für (0,0) stimmt die Matrix.
Für [mm] \IR^2 [/mm] gilt: Ist det(H)<0 dann existiert kein rel. Extremum. Also hat deine Funktion bei (0,0) kein Extremum.
Allgemeiner definiert man: Ist die Matrix indefinit, so existiert kein relatives Extremum.
Du musst nun noch die anderen zwei Punkte überprüfen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 Do 07.06.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Ich glaub ich brauch noch ein wenig hilfe :
[mm] 4x^3 +4xy^2 [/mm] -4x =0
Aber stecke ich fest .
Wie gehe ich hier weiter vor?
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> Ich glaub ich brauch noch ein wenig hilfe :
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> [mm]4x^3 +4xy^2[/mm] -4x =0
>
> Aber stecke ich fest .
>
> Wie gehe ich hier weiter vor?
Stelle nach y um und setze es dann in [mm] f_y=0 [/mm] ein. Dann hast du eine Gleichung abhängig von x. Löse diese und setze dann [mm] x_0 [/mm] in y ein.
(Normales Lösen von Gleichungssystem: Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte)
Man kann aber auch bei [mm] 4x^3 +4xy^2-4x=0 [/mm] durch x teilen (weil man voraussetzt, dass [mm] x\not=0 [/mm] ist.
Dann stellt man nach [mm] x^2 [/mm] um und setzt dann in [mm] f_y [/mm] ein. Das ist dann einfacher zu lösen.
Aber: Bei [mm] 4x^2 +4y^2-4=0 [/mm] springen einen zwei potentielle Lösungen schon ins Auge, wo man aber überprüfen müsste, ob sie für die zweite Gleichung auch stimmen. Man wähle y=0, dann ist klar, was die Lösungen für x sind...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Do 07.06.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Ok habe ich jetzt gemacht :
[mm] y^2 [/mm] = [mm] 4x^3 [/mm] +4x -4
Jetzt für x=0 eingesetzt:
[mm] y^2 [/mm] = -4
Aber die wurzel aus -4 kann man jetzt nicht ziehen.
Oder habe ich dich falsch verstanden?
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I [mm] 0=4x^3+4xy^2-4x [/mm] |:(4x)
I' [mm] 0=4x^2+4y^2-4
[/mm]
I'' [mm] 0=x^2+y^2-1 \gdw x^2=-y^2+1
[/mm]
Eingesetzt in [mm] f_y=0
[/mm]
II [mm] 0=4(-y^2+1)*y+4y^3+4y=8y \gdw [/mm] y=0
y=0 in I''
[mm] x^2=1 [/mm] => [mm] x_1=1, x_2=-1
[/mm]
Damit neue Hesse-Matrix berechnen und schauen, ob positiv definit, negativ definit oder semidefinit.
Wie kann es sein, dass man Extrema mehrerer Veränderlicher berechnet, aber dieses simple GLS nicht gelöst bekommt? ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:56 Do 07.06.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Ah danke.
Ich hab das jetzt ein wenig anders gerechnet , aber auch auf das gleiche ergebnis gekommen.
Kann man das auch so rechnen ?
[mm] 4x^3 +4xy^2 [/mm] -4x=0 durch 4 teilen
x*( [mm] x^2 +y^2 [/mm] -1)=0
x1=0
[mm] x^2 [/mm] = [mm] y^2 [/mm] +1
Dann wurzel gezogen :
[mm] x^1= [/mm] y +1
x2= y-1
Dann für y=0 eingesetzt:
x1=1 x2 =-1
Aber wie kriege ich jetzt genau die hesse matrix?
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> Ah danke.
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> Ich hab das jetzt ein wenig anders gerechnet , aber auch
> auf das gleiche ergebnis gekommen.
>
> Kann man das auch so rechnen ?
>
> [mm]4x^3 +4xy^2[/mm] -4x=0 durch 4 teilen
>
> x*( [mm]x^2 +y^2[/mm] -1)=0
>
> x1=0
>
> [mm]x^2[/mm] = [mm]y^2[/mm] +1
Hier stimmt die Umformung nicht. Es wäre [mm] x^2=-y^2+1
[/mm]
>
> Dann wurzel gezogen :
>
> [mm]x^1=[/mm] y +1
>
> x2= y-1
[mm] \wurzel{x^2} [/mm] = [mm] \wurzel{y^2+1} [/mm] ist NICHT $ x=y+1 $
>
> Dann für y=0 eingesetzt:
>
> x1=1 x2 =-1
>
> Aber wie kriege ich jetzt genau die hesse matrix?
Du hast doch schon einmal die Matrix ausgerechnet. Jetzt also genauso...
Wie die Matrix aufgebaut ist, steht in meiner ersten Antwort.
Das solltest du nun aber wirklich alleine hinbekommen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:14 Fr 08.06.2012 | | Autor: | Kevin22 |
Aber warum ist es nicht
x= y+1?
Und was müsste ich für die hesse matrix nun ableiten?
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Seit wann kann man denn aus Summen die Wurzel ziehen?
Die Hessematrix steht in meiner ersten Antwort. Was sind die Elemente der Matrix? Dann weißt du auch, was man auszurechnen hat.
Noch klarer kann ich es nur noch machen, wenn ich es vorrechne. Aber das bringt weder dir noch mir etwas. Und dazu bin ich auch nicht gewillt.
Schlaf ne Runde und versuche es dann erneut. Es hat keinen Zweck hier auf Krampf Lösungen zu finden...
Es ist wirklich auch als Antwortsteller deprimierend, wenn man das Gefühl hat, dass der Fragende die Antworten kaum genauer sich anschaut.
In diesem Sinne
Gute Nacht.
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