Extremwerte / Periode < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich habe Fragen zu der Funktion
$y = [mm] x+cos(\pi*x)$
[/mm]
(tauchte heute bei meinem Nachhilfeschüler auf).
Die Funktion hat die Periode 2.
Die Maxima kehren mit der gleichen Periode wieder, die Minima auch. Die Funktion als Ganzes ist aber wahrscheinlich nicht periodisch?
Einen Extremwert (Maximum) gewinnt man ja aus der 1. Ableitung
$x = [mm] \bruch{1}{\pi}*arcsin\left(\bruch{1}{\pi} \right)\approx0,1031$
[/mm]
, aber wie errechnet man ein Minimum?
Vielen Dank für eine Antwort im voraus.
LG, Martinius
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:52 Do 22.05.2008 | | Autor: | nikito |
Hallo Martinius,
wie du schon festgestellt hast hat, kehren die Maxima und Minima mit der Periode 2 wieder. Wenn also x ein Maximum ist dann sind folglich [mm] x\pm1 [/mm] Minima. Somit sind die Maxima die Stellen mit dem Wert [mm] \bruch{1}{\pi}\*arcsin(\bruch{1}{\pi}) +2\*z [/mm] und die Minima [mm] \bruch{1}{\pi}\*arcsin(\bruch{1}{\pi })+2\*z+1 (z\in\IZ) [/mm] .
Ich hoffe das hat dir weitergeholfen.
Lg Nikito
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 Do 22.05.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo nikito,
vielen Dank für deine Antwort.
Die Maxima waren klar. Das die ganze Funktion periodisch ist, ist mir in der Zwischenzeit auch aufgegangen.
Die Funktion [mm] $y=x+cos(\pi*x)$ [/mm] ist aber nicht symmetrisch gebaut, wie eine normale cos-Funktion. Das Minimum liegt nicht in der Mitte zwischen zwei Maxima.
Ich hab's aber jetzt raus wie man es rechnet. Gesucht sind ja die Nullstellen der 1. Ableitung [mm] $y=1-\pi*sin(\pi*x)$. [/mm] Und die liegen ja symmetrisch um die die Wendepunkte, allwo die 2. Ableitung gleich Null wird (bei x = [mm] \bruch{1}{2}\pm [/mm] n*1). Wenn man ein Maximum hat, kann man aus der Differenz zum Wendepunkt ein Minimum ermitteln mit [mm] x\approx0,8969.
[/mm]
LG, Martinius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:15 Do 22.05.2008 | | Autor: | nikito |
Hallo Martinius,
ich muss dich enttäuschen die Funktion ist nicht periodisch. Wäre sie periodisch würden die Funktionswerte in bestimmten Abständen wiederkehren. Einfach mal plotten. Und doch die Minima liegen immer in der Mitte zwischen zwei Maxima und umgekehrt. Einfach mal einsetzen in die 1. Ableitung und ausrechnen. Aber ansonsten kann du sie natürlich auch durch die Wendepunkte bestimmen, da diese natürlich genau in der Mitte zwischen zwei Extrema liegen. Was nebenbei meine Behauptung wiederum impliziert ;)
Lg Nikito
>
> vielen Dank für deine Antwort.
>
> Die Maxima waren klar. Das die ganze Funktion periodisch
> ist, ist mir in der Zwischenzeit auch aufgegangen.
>
> Die Funktion [mm]y=x+cos(\pi*x)[/mm] ist aber nicht symmetrisch
> gebaut, wie eine normale cos-Funktion. Das Minimum liegt
> nicht in der Mitte zwischen zwei Maxima.
>
> Ich hab's aber jetzt raus wie man es rechnet. Gesucht sind
> ja die Nullstellen der 1. Ableitung [mm]y=1-\pi*sin(\pi*x)[/mm]. Und
> die liegen ja symmetrisch um die die Wendepunkte, allwo die
> 2. Ableitung gleich Null wird (bei x = [mm]\bruch{1}{2}\pm[/mm]
> n*1). Wenn man ein Maximum hat, kann man aus der Differenz
> zum Wendepunkt ein Minimum ermitteln mit [mm]x\approx0,8969.[/mm]
>
>
> LG, Martinius
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:12 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo nikito,
> ich muss dich enttäuschen die Funktion ist nicht
> periodisch. Wäre sie periodisch würden die Funktionswerte
> in bestimmten Abständen wiederkehren. Einfach mal plotten.
> Und doch die Minima liegen immer in der Mitte zwischen
> zwei Maxima und umgekehrt. Einfach mal einsetzen in die 1.
> Ableitung und ausrechnen. Aber ansonsten kann du sie
> natürlich auch durch die Wendepunkte bestimmen, da diese
> natürlich genau in der Mitte zwischen zwei Extrema liegen.
> Was nebenbei meine Behauptung wiederum impliziert ;)
>
> Lg Nikito
Was die Periodizität von
[mm] $y=x+cos(\pi*x)$
[/mm]
anbelangt, lasse ich mich gerne eines Besseren belehren. Es war ja auch ursprünglich meine Frage. Die x-Werte einerseits der Maxima und andererseits der Minima sind zwar periodisch verteilt, aber nicht die Funktionswerte. D. h., die Funktion als Ganzes ist nicht periodisch. Das kann ich einsehen.
Aber die Minima liegen wirklich nicht in der Mitte zwischen beiden Maxima. Ein Maximum lässt sich ja aus der 1. Ableitung ermitteln:
[mm] $x=\bruch{1}{\pi}*arcsin\left(\bruch{1}{\pi}\right)$
[/mm]
, die anderen sind damit klar:
[mm] $x_{max.}=0,1031 \pm [/mm] n*2$ ; [mm] n\in\IN
[/mm]
Darüber waren wir uns ja einig.
De facto geht es ja darum, die Nullstellen der 1. Ableitung zu finden:
$y' = [mm] 1-\pi*sin(\pi*x) [/mm] = 0$
und das ist eine um 1 nach oben verschobene -sin-Funktion mit der Amplitude [mm] \pi, [/mm] deren Nullstellen nicht äquidistant sind. Handelte es sich um eine reine -sin-Funktion ohne zusätzlichen Summanden , so wären die Nullstellen äquidistant und somit auch die Minima und Maxima der Ursprungsfunktion - was aber nicht der Fall ist.
Wenn man die Nullstellen der 1. Ableitung nun über die Abstände zum Wendepunkt [mm] (x_W [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\pm [/mm] n ), zu welchen sie symmetrisch liegen, ermittelt, erhält man
[mm] $x_{min.}=0,8969 \pm [/mm] n*2$ ; [mm] n\in\IN
[/mm]
Lägen die Minima genau in der Mitte der Maxima, so wäre das bei
[mm] $x_{min.}=1,1031 \pm [/mm] n*2$ ; [mm] n\in\IN
[/mm]
was ja nicht der Fall ist - wie man auch aus dem Graphen ersehen kann.
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG, Martinius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: WMF) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:03 Fr 23.05.2008 | | Autor: | nikito |
Oh ja sry du hast recht mein Fehler, habe es mir wohl nicht genau angesehen.
|
|
|
|
