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Forum "Schul-Analysis" - Extremwertbestimmung
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Extremwertbestimmung: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:50 Fr 31.12.2004
Autor: Sanne

Huhu,

bin gerade dabei alte Aufgabenblätter und Prüfungen aus Analysis 1 durchzurechen und hänge nun bei folgender Aufgabe, bei der ich die Lösung vom Prof absolut nicht verstehe. Habe schon versucht eine ähnliche durchzurechnen, bleibe dann aber wieder an der gleichen Stelle hängen. Das war so ne 2-Minuten-Hauruck-Aktion ("oh je, die Stunde ist gleich rum"), wo dann irgendwas an den Tali geknallt wurde und das noch nichtmals bis zum Ende....

Also...

Sei f: [mm] \to \IR [/mm] definiert durch
[mm] f(x):=exp(2004-\summe_{k=1}^{n}(x-7^k)^2) [/mm]
Wo besitzt f lokale/globale Minima/Maxima?

Am Tali stand folgende Lösung:

[mm] K_0 [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n}7^k [/mm]
f'(x) = -2 [mm] \summe_{k=1}^{n}(x-7^k)*exp(...) [/mm]
f'(x) = 0
[mm] \gdw \summe_{k=1}^{n}(x-7^k)=0 [/mm]
[mm] \gdw [/mm] nx = [mm] \summe_{k=1}^{n}x [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}7^k [/mm]

und das wars....
bis zur Folgerung [mm] \summe_{k=1}^{n}(x-7^k)=0 [/mm] komm ich ja noch mit, der exp(...) ist sowieso ungleich 0 und kann daher wegfallen - die -2 vor der Summe kann ich wegfallen lassen, weil der ganze Summandenkram eh 0 sein muss,  also muss nur noch obiger Ausdruck 0 sein.
Doch was macht mein werter Prof dann? Und was soll das mit dem [mm] K_0? [/mm] Und vor allem - wie löse ich diese Aufgabe nun weiter?

Wäre super, wenn mir da mal jemand helfen könne, ich verzweifel hier gerade, seufz.

Vielen Dank schonmal,
lg  und einen schönen Silvesterabend ;-)
Sanne
        
Bezug
Extremwertbestimmung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:26 Fr 31.12.2004
Autor: Loddar

Hallo Sanne!

Wat 'ne Mörder-Uhrzeit, um sich mit solchen Dingen zu beschäftigen [respekt] !!!

> Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] definiert durch
> [mm]f(x):=exp(2004-\summe_{k=1}^{n}(x-7^k)^2)[/mm]
> Wo besitzt f lokale/globale Minima/Maxima?
>  
> Am Tali stand folgende Lösung:
> [mm]K_0[/mm] = [mm]\bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n}7^k[/mm]
> [mm]f'(x) = -2 * \summe_{k=1}^{n}(x-7^k)*exp(...)[/mm]

> f'(x) = 0
> [mm]\gdw \summe_{k=1}^{n}(x-7^k)=0[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] nx = [mm]\summe_{k=1}^{n}x[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n}7^k[/mm]
>  
> und das wars....
> bis zur Folgerung [mm]\summe_{k=1}^{n}(x-7^k)=0[/mm] komm ich ja
> noch mit, der exp(...) ist sowieso ungleich 0 und kann
> daher wegfallen - die -2 vor der Summe kann ich wegfallen
> lassen, weil der ganze Summandenkram eh 0 sein muss,  also
> muss nur noch obiger Ausdruck 0 sein.

[ok]

> Doch was macht mein werter Prof dann? Und was soll das mit
> dem [mm]K_0?[/mm] Und vor allem - wie löse ich diese Aufgabe nun
> weiter?

Also dann setzen wir mal ein bei ...
[mm]\summe_{k=1}^{n}(x-7^k) = 0[/mm]

Summenzeichen "auseinanderziehen", sprich auf die einzelnen Summanden verteilen:
[mm]\summe_{k=1}^{n}x - \summe_{k=1}^{n}7^k = 0[/mm]  |  + [mm] $\summe_{k=1}^{n}7^k$ [/mm]

[mm]\summe_{k=1}^{n}x = \summe_{k=1}^{n}7^k[/mm]

Was geschieht denn auf der linken Seite? Wir addieren insgesamt n-mal den Summanden x. Wir können also auch dafür schreiben:
[mm]\summe_{k=1}^{n}x = n*x = \summe_{k=1}^{n}7^k[/mm]  | : n

Und somit haben wir unsere genannte Lösung:
[mm] $x_E [/mm] = [mm] K_0 [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] \summe_{k=1}^{n}7^k$ [/mm]

Dies' muß nun überprüft werden durch Einsetzen in die 2. Ableitung, ob es sich um ein Minimum / Maximum bzw. ob überhaupt um ein Extremum handelt (habe ich jetzt nicht gemacht [peinlich]).

Falls einen der Summenausdruck auf der linken Seite stört, kann man diesen noch umschreiben.
Es handelt sich hier nämlich um eine geometrische Reihe mit dem Typ
Geometrische Folge: [mm] $a_k [/mm] = [mm] a_1 [/mm] * [mm] q^{k-1} [/mm] = 7 * [mm] 7^{k-1} [/mm] = [mm] 7^k$ [/mm]

Dann gilt für die Reihe (Summierung von 1 bis n):
[mm] $s_n [/mm] = [mm] a_1 [/mm] * [mm] \bruch{q^n - 1}{q-1} [/mm] = 7 * [mm] \bruch{7^n - 1}{7-1} [/mm] = [mm] \bruch{7}{6} [/mm] * [mm] (7^n [/mm] - 1)$
(Aber das nur am Rande.)


Ich hoffe, nun sind noch im alten Jahr alle Klarheiten beseitigt [lichtaufgegangen]


Auch Dir einen guten Rutsch [prost] und ein erfolgreiches 2005 ...
Loddar

Bezug
                
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Extremwertbestimmung: Danke!!!!!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:44 Fr 31.12.2004
Autor: Sanne

Super, hab vielen Dank :-)

Und um diese Uhrzeit mit sowas... Naja, normalerweise eher nicht, aber wenn ich mich schonmal aufgerafft hab.... :-D

Liebe Grüße und allen einen schönen Abend und ein gutes 2005!
Bezug
        
Bezug
Extremwertbestimmung: 1. Ableitung falsch !?!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:45 Sa 01.01.2005
Autor: Loddar

Hallo Sanne,

erstmal ein gutes + erfolgreiches 2005 [kleeblatt] !!

Mir ist da bei der 1. Ableitung noch ein Fehler aufgefallen ...

Keine Angst, es ändert sich nichts an unserem Ergebnis für die Extremstelle [mm] $x_E [/mm] = [mm] K_0 [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}*\summe_{k=1}^{n}7^k$ [/mm] .
Aber der Vollständigkeit (und der Richtigkeit halber natürlich auch) noch folgender Hinweis:

[mm]f(x) := exp[2004 - \summe_{k=1}^{n}(x-7^k)^2][/mm]

[mm]f(x) = exp[2004 - (\summe_{k=1}^{n}x - \summe_{k=1}^{n}7^k)^2][/mm]

[mm]f(x) = exp[2004 - (n*x - \summe_{k=1}^{n}7^k)^2][/mm]


[mm]\Rightarrow[/mm]
[mm]f'(x) = -2 * (n*x - \summe_{k=1}^{n}7^k) * [/mm] n [mm] * exp[2004 - \summe_{k=1}^{n}(x-7^k)^2][/mm]

[mm]f'(x) = -2 * \summe_{k=1}^{n}(x-7^k) * [/mm] n [mm] * exp[2004 - \summe_{k=1}^{n}(x-7^k)^2][/mm]


Meines Erachtens hat Dein Prof die innere Ableitung des Ausdruckes [mm] $\summe_{k=1}^{n}x [/mm] = n*x$ vergessen, so daß noch der zusätzliche Faktor n unterschlagen wurde.

Wie bereits erwähnt, ändert das nichts bei der Ermittlung unserer Extremalstelle, da dieses n beim "Nullsetzen" der 1. Ableitung gleich eliminiert werden kann ...

Auch für die 2. Ableitung ist das nicht entscheidend, da sich durch dieses n das Vorzeichen an der Stelle [mm] $f''(x_E) [/mm] = [mm] f''(K_0) [/mm] = ...$ nicht ändert, da n immer postiv sein wird.


Loddar

Bezug
                
Bezug
Extremwertbestimmung: nochmal danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:41 So 02.01.2005
Autor: Sanne

Hallo Loddar,

danke für deine Mühe, da hatte ich auch schon gehangen, aber mich dann damit abgefunden, dass ich wohl falsch gerechnet hab *g

Kann mir allerdings sehr gut vorstellen, dass mein Prof das n gleich rausgestrichen hat, weil es eh nichts am Ergebnis ändert; wenn man dann die letzten drei Jahre einen mehr als besch...eidenen Matheunterricht hatte, kann man immer schön rätseln, wo er seine Lösungen hernimmt ;-))) Aber wat soll's...

Danke nochmal,
dir auch ein gutes und erfolgreiches 2005 und liebe Grüße,

Sanne
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