Extremwertberechnung < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Eine Gerade geht durch die Punkte S1(4|0) und S2(0|7/3). Für welchen Punkt P der Geraden g hat das Rechteck 0APB den größten Flächeninhalt?
Gib auch diesen Extremwert an.
Die Aufgabenstellung ist recht simpel. Da ist die Zeichnung von einem Koordinatensystem und die genannte Gerade g geht durch die oben genannten Punkte. Nun soll ich den größtmöglichen Flächeninhalt des Rechtecks herausfinden, dessen Punkt P auf der Geraden liegt (wo genau muss man ausrechnen). Der einzige Anhaltspunkt ist der Punkt (0|0) der schon von dem Rechteck vorgegeben ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Aus den Punkten S1 und S2 hab ich durch die 2-Punkt-Form die Geradengleichung berechnet.
Diese lautet: y= 7/12*x - 7/3
Soweit so gut. Nun weiss ich aber nicht, wie ich von der Gleichung auf den größtmöglichen Flächeninhalt kommen soll.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Gruß Christian
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Di 28.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Eine Gerade geht durch die Punkte S1(4|0) und S2(0|7/3).
> Für welchen Punkt P der Geraden g hat das Rechteck 0APB
> den größten Flächeninhalt?
> Gib auch diesen Extremwert an.
>
> Die Aufgabenstellung ist recht simpel. Da ist die Zeichnung
> von einem Koordinatensystem und die genannte Gerade g geht
> durch die oben genannten Punkte. Nun soll ich den
> größtmöglichen Flächeninhalt des Rechtecks
> herausfinden, dessen Punkt P auf der Geraden liegt (wo
> genau muss man ausrechnen). Der einzige Anhaltspunkt ist
> der Punkt (0|0) der schon von dem Rechteck vorgegeben ist.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Aus den Punkten S1 und S2 hab ich durch die 2-Punkt-Form
> die Geradengleichung berechnet.
> Diese lautet: y= 7/12*x - 7/3
>
> Soweit so gut. Nun weiss ich aber nicht, wie ich von der
> Gleichung auf den größtmöglichen Flächeninhalt kommen
> soll.
Du willst ein wenig viel auf einmal.
Berechne erst mal den Inhalt EINES beliebigen Rechtecks mit einem Eckpunkt auf der Geraden.
Seine x-Koordinate sei - wie originell - x.
Seine y-Koordinate entspricht dem Funktionswert der Geraden an dieser Stelle x.
Wie breit/wie hoch ist dann das Rechteck?
Welche Fläche hat es?
Gruß Abakus
>
> Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
>
> Gruß Christian
|
|
|
| |
|
danke erstmal dass du dir überhaupt die mühe machst.
ich kann leider nicht nachvollziehen was du mir zu verstehen geben willst. was bringt es mir den flächeninhalt eines beliebigen rechtsecks auszurechnen das mit einem punkt auf der geraden liegt? das würde mir letztendlich auch nicht weiterhelfen.
wenn es für sowas nur eine formel gäbe..
|
|
|
| |
|
> danke erstmal dass du dir überhaupt die mühe machst.
> ich kann leider nicht nachvollziehen was du mir zu
> verstehen geben willst. was bringt es mir den
> flächeninhalt eines beliebigen rechtsecks auszurechnen das
> mit einem punkt auf der geraden liegt? das würde mir
> letztendlich auch nicht weiterhelfen.
Hallo,
doch, das bringt Dir ziemlich viel, denn Du wüßtest dann, welche Funktion Du minimieren mußt.
Beachte dabei, daß die Punkte auf dem Graphen die Gestalt [mm] P_x(x|g(x)) [/mm] haben.
(Gibt's eigentlich eine Skizze? Bisher hast Du jedenfalls noch nicht klargemacht, was die Punkte A und B sein sollen - ich kann's mir aber denken...)
Wie hoch ist dieses Rechteck? Wie breit? Wie groß ist seine Fläche A(x)?
Gruß v. Angela
Gruß v. Angela
>
> wenn es für sowas nur eine formel gäbe..
|
|
|
| |
|
das problem ist ja dass ich das rechteck allein durch den graph ausrechnen muss... meine einzigen anhaltspunkte sind, dass die eine ecke von dem rechteck auf dem graph liegt und eine andere ecke auf dem punkt (0|0).
ich weiss mir wirklich nicht weiterzuhelfen
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
> das problem ist ja dass ich das rechteck allein durch den
> graph ausrechnen muss... meine einzigen anhaltspunkte sind,
> dass die eine ecke von dem rechteck auf dem graph liegt und
> eine andere ecke auf dem punkt (0|0).
> ich weiss mir wirklich nicht weiterzuhelfen
Hallo,
und die nächste Ecke liegt doch sicher auf der x-Achse und die andere auf der y-Achse.
Hast Du eine Skizze? Die Gerade eingezeichnet, einen Punkt [mm] P_x(x|g(x)) [/mm] markiert? --- Oh weh! Deine Geradengleichung stimmt gar nicht! Rechne nochmal, wenn Du wieder dasselbe bekommst, rechne vor.
Das Rechteck wird in dem Bereich, der von den Koordinatenachsen und der Geraden begrenzt wird, aufgebaut. Von P gerade runter auf die x-Achse ergibt den 3.Rechteckpunkt, und nach links zur y-Achse den vierten.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
ja genau du hast es verstanden :)
ich hab gerade eine skizze in paint gemacht und diese hochgeladen (wird gerade überprüft).
und die geradengleichung ist richtig. hab nochmal mit der 2-punkt-form nachgerechnet
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:26 Di 28.09.2010 | | Autor: | abakus |
> ja genau du hast es verstanden :)
> ich hab gerade eine skizze in paint gemacht und diese
> hochgeladen (wird gerade überprüft).
>
> und die geradengleichung ist richtig. hab nochmal mit der
> 2-punkt-form nachgerechnet
Hallo,
der Anstieg muss MINUS 7/12 sein.
Die y-Achse wird nicht bei -7/3, sondern bei 7/3 geschnitten, somit hast du auch dort einen Vorzeichenfehler.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
y-y1 / x-x1 = y2-y1 / x2-x1
y-0 / x-4 = 7/3-0 / 0-4
y / x-4 = 7/12 |*(x-4)
y = 7/12*(x-4)
y = 7/12*x - 7/3
das ist meine rechnung zur geradengleichung.
hoffe diese ist nachvollziehbar
|
|
|
| |
|
Hallo, das ist ja fast nicht lesbar, bis
[mm] \bruch{y}{x-4}=\bruch{\bruch{7}{3}}{-4} [/mm] stimmt es
[mm] -4*y=\bruch{7}{3}*(x-4)
[/mm]
[mm] -4*y=\bruch{7}{3}*x-\bruch{28}{3}
[/mm]
[mm] y=-\bruch{7}{12}*x+\bruch{28}{12}
[/mm]
[mm] y=-\bruch{7}{12}*x+\bruch{7}{3}
[/mm]
als Alternative:
y=m*x+n
[mm] n=\bruch{7}{3} [/mm] ist doch schon bekannt
[mm] y=m*x+\bruch{7}{3} [/mm] du kennst noch (4;0), einsetzen
[mm] 0=4*m+\bruch{7}{3}
[/mm]
[mm] -\bruch{7}{3}=4*m
[/mm]
[mm] m=-\bruch{7}{12}
[/mm]
Steffi
|
|
|
| |
|
da hast du recht. das hätte ich auch so rechnen können..
aber nun zurück zum anfang. ich weiss leider immer noch nicht wie ich den flächeninhalt des rechtecks ausrechnen soll :(
|
|
|
| |
|
Hallo,
[Dateianhang nicht öffentlich]
du erkennst die Strecke [mm] \overline{OA}, [/mm] die Länge vom Rechteck, die wir nicht kennen, nennen wir sie x, du erkennst die Strecke [mm] \overline{AP}, [/mm] die Breite vom Rechteck, die wir nicht kennen, nennen wir sie y, der Punkt P liegt auf deiner Gerade, also ist die Breite vom Rechteck f(x), also ist die Fläche A= ...
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
dein koordinatensystem ist schön übersichtlich aber ich verstehe immer noch nicht was du mir sagen willst. ich bin genau so weit wie am anfang :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Di 28.09.2010 | | Autor: | abakus |
> dein koordinatensystem ist schön übersichtlich aber ich
> verstehe immer noch nicht was du mir sagen willst. ich bin
> genau so weit wie am anfang :(
Zum dritten Mal:
Die Breite ist x (die x-Koordinate deines Geradenpunktes).
Die Höhe ist dann die y-Koordinate des Geradenpunktes (bekommst du aus y=... von deiner Geradengleichung).
Gruß Abakus
>
|
|
|
| |
|
das hab ich ja verstanden aber ich hab die koordinaten des punktes P nicht und folglich kann ich auch nicht das rechteck berechnen. wie ich die koordinaten des punktes P ausrechnen kann verstehe ich auch noch nicht.
was genau muss ich machen um die koordinaten des punktes P zu bekommen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Di 28.09.2010 | | Autor: | abakus |
> das hab ich ja verstanden aber ich hab die koordinaten des
> punktes P nicht und folglich kann ich auch nicht das
> rechteck berechnen. wie ich die koordinaten des punktes P
> ausrechnen kann verstehe ich auch noch nicht.
> was genau muss ich machen um die koordinaten des punktes P
> zu bekommen?
P liegt auf deiner Geraden. Somit kannst du für jeden Wert x, den du dir vorgibst, den y-Wert des Geradenpunktes an dieser Stelle x ausrechnen.
Und wenn du an Stelle von x keine konkrete Zahl, sondern eben nur allgemein "x" stehen hast, ist der y-Wert dazu eben der Term in der rechten Seite deiner Geradengleichung "y=..."
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
jetzt wird mir schon einiges klar. das würde ja heißen dass die koordinaten von punkt P (x|-7/12*x -7/3) sind. das problem ist nur dass jetzt bei x- und y- koordinate immer noch die variable x ist. aus einem von beidem müsste ich die aber doch rausbekommen um weiterzurechnen.
|
|
|
| |
|
> jetzt wird mir schon einiges klar. das würde ja heißen
> dass die koordinaten von punkt P (x|-7/12*x -7/3) sind.
Hallo,
ich weiß jetzt nicht, ob ich jubeln soll oder einen Schreikrampf kriegen...
Zum allerletzen Mal: p l u s 7/3.
Zum Jubeln ist, daß Du jetzt den Punkt ansonsten richtig dastehen hast, und fast meine ich zu glauben, daß Du erkannt hast, daß der Flächeninhalt in Abhängigkeit von x sich zu A(x)=x*(-7/12*x +7/3) errechnet.
Bestimme jetzt das Maximum von A(x) mit den Methoden, die Du beherrschst bzw. üben solltest.
1. Möglichkeit: mit Differntialrechnung
2. Möglichkeit: indem Du die Parabel in Scheitelpunktform bringst.
Gruß v. Angela
> das
> problem ist nur dass jetzt bei x- und y- koordinate immer
> noch die variable x ist. aus einem von beidem müsste ich
> die aber doch rausbekommen um weiterzurechnen.
|
|
|
| |
|
super! ich hab jetzt die scheitelpunktform angewandt und habe folgende lösung:
y = -7/12 (x-2)² +7/3
das würde dann bedeuten dass die koordinaten von P = (2|7/3) sind.
daraus schließe ich:
A = 2*7/3
A = 14/3
ich glaube diesmal habe ich alles richtig gemacht. wenn ihr noch etwas zu verbessern habt dann tut das gerne. ich danke Abakus dafür, dass er mich auf den richtigen Weg gebracht hat. Steffi21 dir danke ich für das übersichtliche Koordinatensystem. und angela.h.b. danke ich für die erleuchtung die mich letzten endes zum ergebnis gebracht hat.
danke euch allen für den aufwand. schönen abend noch :)
Gruß Christian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:56 Di 28.09.2010 | | Autor: | chris1357 |
oh. das kann ich nachvollziehen.
ich danke dir loddar!
Gruß Christian
PS: würde sagen CLOSED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 Di 28.09.2010 | | Autor: | abakus |
> da hast du recht. das hätte ich auch so rechnen können..
> aber nun zurück zum anfang. ich weiss leider immer noch
> nicht wie ich den flächeninhalt des rechtecks ausrechnen
> soll :(
Versuche es mit Höhe mal Breite.
Für beides gibt es Koordinaten.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
> ja genau du hast es verstanden :)
> ich hab gerade eine skizze in paint gemacht und diese
> hochgeladen (wird gerade überprüft).
>
> und die geradengleichung ist richtig. hab nochmal mit der
> 2-punkt-form nachgerechnet
Hallo,
bist Du nicht irritiert, wenn Du Deine Geradengleichung mit der (richtigen) Skizze vergleichst?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 Di 28.09.2010 | | Autor: | chris1357 |
doch ich habe grade eben gemerkt, dass es y = -7/12*x -7/3 ist, da ich eben am anfang durch 4 geteilt habe und nicht durch -4. mein fehler sry
|
|
|
| |
|
> doch ich habe grade eben gemerkt, dass es y = -7/12*x [mm] \red{-}7/3 [/mm]
> ist,
Plus 7/3. Guck aufs Bild, wenn Du Zweifel hast.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Der oben genannte Wert [mm]\bruch{7}{3}[/mm] ist bereits der Flächeninhalt.
