Extremwertbeispiel (Hyperbel) < Abivorbereitung < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Welcher Punkt der Hyperbel [mm] 2x^{2}-3y^{2}= [/mm] 54 hat vom Punkt P (15/0) den kleinsten Abstand?
Lösung: [ A(9/6), B(9/-6) ] |
Im Prinzip handelt es sich hierbei um ein Extremwertbeispiel mit dem Pythagoras als Zielfunktion. Da ich mir ja den kleinsten Abstand berechnen möchte, muss ich mWn eine Tangente an die Hyperbel legen. Diese kann ich mir zumindest mit der Berührbedingung [mm] d^{2}=a^{2}k^{2}-b^{2} [/mm] ausdrücken lassen. Rechnet man sich [mm] a^{2} [/mm] und [mm] b^{2} [/mm] aus der Hyberbel aus, dann erhält man für [mm] a^{2} [/mm] den Wert 18 und für [mm] b^{2} [/mm] den Wert 27. Diese setze ich dann in die Berührbedingung ein.
Zur gleichen Zeit stelle ich die Formel für den kleinsten Abstand (ich nenne die Variable mal G) mit Hilfe des Pythagoras auf. G = [mm] \wurzel{(15-x)^{2}+y^{2}}. [/mm] Das ist wohl zugleich meine Zielfunktion.
Weiters setzte ich [mm] d^{2}-Gleichung [/mm] in die quadrierte Geradengleichung ein und bekomme [mm] y^{2}=k^{2}x^{2}+18k^{2}-27. [/mm] Und diese wiederum in G [mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] G^{2}= (15-x)^{2}+k^{2}x^{2}+18k^{2}-27
[/mm]
So das waren im Prinzip meine ersten Ansätze. Stimmen die bzw. wie gehe ich weiter?
btw: Ich habe in paar Tagen meine M-Abitur. Werde hier in diesem Forum wohl bis dahin noch öfters nachfragen. *g*
Ich wäre natürlich sehr, sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte...
|
|
| |
|
Hallo IlovePhiladelphia,
> Welcher Punkt der Hyperbel [mm]2x^{2}-3y^{2}=[/mm] 54 hat vom Punkt
> P (15/0) den kleinsten Abstand?
>
> Lösung: [ A(9/6), B(9/-6) ]
> Im Prinzip handelt es sich hierbei um ein
> Extremwertbeispiel mit dem Pythagoras als Zielfunktion. Da
> ich mir ja den kleinsten Abstand berechnen möchte, muss ich
> mWn eine Tangente an die Hyperbel legen. Diese kann ich mir
> zumindest mit der Berührbedingung [mm]d^{2}=a^{2}k^{2}-b^{2}[/mm]
> ausdrücken lassen. Rechnet man sich [mm]a^{2}[/mm] und [mm]b^{2}[/mm] aus der
> Hyberbel aus, dann erhält man für [mm]a^{2}[/mm] den Wert 18 und für
> [mm]b^{2}[/mm] den Wert 27. Diese setze ich dann in die
> Berührbedingung ein.
>
> Zur gleichen Zeit stelle ich die Formel für den kleinsten
> Abstand (ich nenne die Variable mal G) mit Hilfe des
> Pythagoras auf. G = [mm]\wurzel{(15-x)^{2}+y^{2}}.[/mm] Das ist wohl
> zugleich meine Zielfunktion.
>
> Weiters setzte ich [mm]d^{2}-Gleichung[/mm] in die quadrierte
> Geradengleichung ein und bekomme
> [mm]y^{2}=k^{2}x^{2}+18k^{2}-27.[/mm] Und diese wiederum in G
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]G^{2}= (15-x)^{2}+k^{2}x^{2}+18k^{2}-27[/mm]
>
> So das waren im Prinzip meine ersten Ansätze. Stimmen die
> bzw. wie gehe ich weiter?
Von Berührung ist hier keine Rede.
Forme die Hyperbelgleichung nach y um, und setze sie in G ein.
>
> btw: Ich habe in paar Tagen meine M-Abitur. Werde hier in
> diesem Forum wohl bis dahin noch öfters nachfragen. *g*
Viel Erfolg dabei.
>
> Ich wäre natürlich sehr, sehr dankbar, wenn mir jemand
> helfen könnte...
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Japp, habe das Ergebnis. Manchmal darf man einfach nicht zu kompliziert denken...:-p
Danke noch mal.
|
|
|
|
