Extremwertaufgaben mit NB < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | f(x,y)= [mm] \bruch{1}{2}(x^{2} [/mm] + [mm] y^{2}) [/mm] ; NB: [mm] g(x,y)=(x-1)^{2}+(y-1)^{2}-4 [/mm] |
hallo zusammen,
ich versuche gerade bei dieser Aufgabe von Extremwertaufgaben mit nebenbedingungen mit der Methode "Parametrisierung der nebenbedingungeneinen" einige Schritte zu nachvollziehen aber ich habe meine Zweifeln. ich habe selber die aufgabe nicht gelöst, aber ich versuche sie zu verstehen. wäre toll wenn ihr mir dabei helfen würdet.
Rechnenweg:
gesucht min f(x,y) unter der NB g(x,y)=0
k: [mm] \IR\to\IR^{2}
[/mm]
[mm] k(\gamma)=\vektor{1+2cos(\gamma) \\ 1+2sin(\gamma)}
[/mm]
[mm] \Rightarrow h(\gamma)=f(k(\gamma)) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}((1+2cos(\gamma))^{2}+(1+2sin(\gamma))^{2}) [/mm] = [mm] 3+2(cos(\gamma)+sin(\gamma))
[/mm]
!
[mm] h'(\gamma)= -2sin(\gamma)+2cos(\gamma) [/mm] = 0
[mm] \gamma_{1}=\bru{\pi}{4} [/mm] ; [mm] \gamma_{2}=\bruch{5\pi}{4} [/mm]
Frage: ich verstehe nicht wie rechnet man das. ich meine, wie krieg man [mm] \gamma_{1} [/mm] und [mm] \gamma_{2} [/mm] aus der Funktion [mm] h'(\gamma)= -2sin(\gamma)+2cos(\gamma) [/mm] = 0 raus?. ich weiss es hört sich blöd an, aber könnte mir bitte das jemand schritt für schritt erklären das mit dem Rechnen von [mm] \gamma_{1} [/mm] und [mm] \gamma_{2}?. [/mm] vielen vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:51 So 03.07.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Hier hast du:
[mm] 0=-2\sin(\gamma)+2\cos(\gamma)
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow2\sin(\gamma)=2\cos(\gamma)
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow\sin(\gamma)=\cos(\gamma)
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow\frac{\sin(\gamma)}{\cos(\gamma)}=1
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow\tan(\gamma)=1
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow\gamma=\arctan(1)
[/mm]
Und das gibt eben die beiden Werte (im Bogenmaß)
Die Periodizität des Tangens spielt hier keine Rolle, da die beiden gegebenen Funktionen Kreise sind, und in einem Kreis nur Winkel bis [mm] 2\pi [/mm] vorkommen.
Marius
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klasse!, jetzt ist mir die sache viel klarer geworden. aber ich hab noch eine frage und zwar, woher oder wieso [mm] \gamma_{2}=\bruch{5}{4}\pi [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:47 So 03.07.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Der Tangens ist (im Gegensatz zum Sinus und Cosinus) eine [mm] $\pi$-periodische [/mm] Funktion.
Marius
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