Extremwertaufgaben, Hilfe. < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
nun wir nehmen in der Schule zurzeit Praxis orientierte Extrema Berechnungen durch. Die Theorie verstehe ich schon, also das ich f'(x) = 0 setzen muss usw. aber bei den mir nun vorliegenden 2 Testaufgaben komme ich einfach nicht weiter. mhhhh, ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. Ich verzweifle noch.
Liebe Grüße
1. Aufgabe:
Eine Hohlkugel soll bearbeitet werden, dass ein Zylinder mit möglichst großem Rauminhalt entsteht. Wie sind der Radius und die Höhe des Zylinders zu wählen?
2. Aufgabe:
Welche senkrechte, regelmäßige Pyramide mit einem Quadrat der Seitenlänge a als Grundfläche und der Seitenkante s hat den größten Rauminhalt?
So das wars auch schon, andere Aufgaben verstehe ich, aber diese Leider nicht. Sad
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:00 Mo 28.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo cyberfreak,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> Eine Hohlkugel soll bearbeitet werden, dass ein Zylinder
> mit möglichst großem Rauminhalt entsteht. Wie sind der
> Radius und die Höhe des Zylinders zu wählen?
Wie groß ist denn das Volumen eines Zylinders?
[mm] $V_{Zylinder} [/mm] \ = \ V(r,h) \ = \ G*h \ = \ [mm] \pi*r^2*h$
[/mm]
Dazu gehört folgende Oberfläche (= Materialverbrauch):
[mm] $O_{Zylinder} [/mm] \ = \ 2*G + M \ = \ [mm] 2*\pi*r^2 [/mm] + [mm] 2\pi*r*h$
[/mm]
Und zur Verfügung dieses Zylinders (an Material) steht uns ja exakt die Oberfläche der Kugel (mit dem Radius $R_$) :
[mm] $O_{Kugel} [/mm] \ = \ [mm] 4\pi*R^2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $2\pi*r^2 [/mm] + [mm] 2\pi*r*h [/mm] \ = \ [mm] 4\pi*R^2$
[/mm]
Diese Gleichung können wir nun z.B. nach $h \ = \ ...$ auflösen und in die Volumen-Formel einsetzen. Damit erhalten wir unsere Zielfunktion $V(r)_$ , die nur noch von einer Variablen $r_$ abhängig ist.
Mit dieser Funktion nun die Extremwertberechnung (Nullstellen der 1. Ableitung etc.) durchführen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:08 Mo 28.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> Welche senkrechte, regelmäßige Pyramide mit einem Quadrat
> der Seitenlänge a als Grundfläche und der Seitenkante s hat
> den größten Rauminhalt?
Volumen der Pyramide:
[mm] $V_{Pyramide} [/mm] \ = \ V(a,h) \ =\ [mm] \bruch{1}{3}*G*h [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*a^2*h$
[/mm]
Wenn wir nun einen Schnitt führen durch die Pyramide entlang der Grundflächen-Diagonale und durch die Pyramidenspitze, erhalten wir zunächst ein gleichschenkliges Dreieck.
Die Hälfte dieses Dreieckes stellt ein rechtwinkliges Dreieck dar, in dem natürlich der Satz des Pythagoras gilt:
[mm] $\left(\bruch{a*\wurzel{2}}{2}\right)^2 [/mm] + [mm] h^2 [/mm] \ = \ [mm] s^2$
[/mm]
Diese Gleichung nun umformen nach [mm] $a^2 [/mm] \ = \ ...$ und in die Volumenformel einsetzen [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Zielfunktion $V(h)_$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Extremwertberechnung ...
Gruß
Loddar
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