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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 Di 25.01.2005 | | Autor: | Gaspy |
hallo zusammen,
hab mal wieder probs mit den ansätzen.
gegeben ist ne funktion y= [mm] 2e^{-x} [/mm]
und vier punkte [mm] p_{x1,y1} [/mm] auf dem graphen der funktion
[mm] p_{x1,0} [/mm]
[mm] p_{0,0} [/mm]
[mm] p_{0,y1}
[/mm]
die vier punkte ergeben ein viereck das um die abszisse rotiert. also die x-achse denke ich mal.
ordinate war doch die y-achse
also zu meinem problem.
ich muss rausfinden für welchen wert von [mm] x_{1} [/mm] das volumen des körpers maximal wird und habe keine ahnung wie.
gehe mal davon aus das der körper ein zylinder ist.
und das volumen wäre dann glaube ich V= [mm] \pi [/mm] * [mm] y^2 [/mm] * x
kann es sein das ich x und y in abhängigkeit bringen muss?
falls ja, wie?
und wie mache ich das mit dem größten volumen? muss ich da mit den ableitungen der funktion arbeiten?
ich habe im moment absolut keinen ansatz.
kann leider kein bild vom graphen hier zeigen da ich mich hier noch nicht so auskenne.
bin für jede anregung dankbar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:13 Di 25.01.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Gaspy!
> hab mal wieder probs mit den ansätzen.
> gegeben ist ne funktion y= [mm]2e^{-x}[/mm]
> und vier punkte [mm]p_{x1,y1}[/mm] auf dem graphen der funktion
> [mm]p_{x1,0}[/mm]
> [mm]p_{0,0}[/mm]
> [mm][mm] p_{0,y1}
[/mm]
Was ist denn genau mit diesen Punkten gemeint? Bedeutet [mm] p_{x_1,0}, [/mm] dass der y-Wert =0 ist? Dann liegt aber [mm] p_{0,0} [/mm] nicht auf dem Graphen! ![[kopfkratz2]](/images/smileys/kopfkratz2.gif "[kopfkratz2]")
Oder was ist damit gemeint?
> die vier punkte ergeben ein viereck das um die abszisse
> rotiert. also die x-achse denke ich mal.
> ordinate war doch die y-achse
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> also zu meinem problem.
> ich muss rausfinden für welchen wert von [mm]x_{1}[/mm] das
> volumen des körpers maximal wird und habe keine ahnung
> wie.
>
> gehe mal davon aus das der körper ein zylinder ist.
> und das volumen wäre dann glaube ich V= [mm]\pi[/mm] * [mm]y^2[/mm] * x
Ja, wenn die vier Punkte ein Viereck ergeben, dann ist der Rotationskörper ein Zylinder. Aber ich fürchte, das Volumen berechnet sich in diesem Fall irgendwie anders. (Wir haben solche Aufgaben in der Schule nie gemacht, aber ich werde gleich mal in meinem alten Mathebuch gucken, ob ich da was mehr herausfinde...)
> kann es sein das ich x und y in abhängigkeit bringen
> muss?
> falls ja, wie?
Ja, bei solchen Aufgaben musst du immer alles in Abhängigkeit bringen. Wie, weiß ich im Moment leider auch nicht. :-(
> und wie mache ich das mit dem größten volumen? muss ich da
> mit den ableitungen der funktion arbeiten?
Ja, die Ableitungen brauchst du. Du müsstest noch irgendeine zweite Bedingung bekommen (ich werde gleich nochmal was nachdenken...), dann kannst du eine Variable in Abhängigkeit der anderen schreiben und schon hast du nur noch eine Funktion mit einer Variablen. Und wenn du davon nun den Hochpunkt findest, hast du schon das größte Volumen.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:47 Mi 26.01.2005 | | Autor: | Gaspy |
guten morgen,
nur der erste punkt war auf dem graphen, daher mein problem mit dem ansatz.
wollte mich noch für Deine hilfe bedanken 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:44 Di 25.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Kristijan
> hallo zusammen,
>
> hab mal wieder probs mit den ansätzen.
> gegeben ist ne funktion y= [mm]2e^{-x}[/mm]
> und vier punkte [mm]p_{x1,y1}[/mm] auf dem graphen der funktion
> [mm]p_{x1,0}[/mm]
> [mm]p_{0,0}[/mm]
> [mm]p_{0,y1}
[/mm]
>
> die vier punkte ergeben ein viereck das um die abszisse
Genauer: ein Rechteck. 
> rotiert. also die x-achse denke ich mal.
> ordinate war doch die y-achse
>
> also zu meinem problem.
> ich muss rausfinden für welchen wert von [mm]x_{1}[/mm] das
> volumen des körpers maximal wird und habe keine ahnung
> wie.
>
> gehe mal davon aus das der körper ein zylinder ist.
> und das volumen wäre dann glaube ich V= [mm]\pi[/mm] * [mm]y^2[/mm] * x
>
> kann es sein das ich x und y in abhängigkeit bringen
> muss?
> falls ja, wie?
> und wie mache ich das mit dem größten volumen? muss ich da
> mit den ableitungen der funktion arbeiten?
> ich habe im moment absolut keinen ansatz.
> kann leider kein bild vom graphen hier zeigen da ich mich
> hier noch nicht so auskenne.
>
> bin für jede anregung dankbar
>
Ja klar. die Funktion ist ja [mm] $y=2e^{-x}$
[/mm]
Du weisst ja, dass [mm] $(x_{1},y_{1}$ [/mm] auf dem Graf der Funktion liegt. Aus diesem Grunde gilt ja:
[mm] $y_{1}=2e^{-x_{1}}$
[/mm]
Das kannst du einfach in deiner Gleichung einsetzen (korrekterweise müsste man aber die Indizes mitnehmen):
[mm] $V=\pi*y_{1}^{2}*x_{1}$
[/mm]
Somit:
[mm] $V=\pi*2e^{-x_{1}}*x_{1}$
[/mm]
Deine Ueberlegung ist absolut richtig: das leitest du einfach nach [mm] $x_{1}$ [/mm] ab, setzt die Ableitung = 0 und löst nach [mm] $x_1$ [/mm] auf. Mit diesem [mm] $x_1$ [/mm] kannst du dann wieder [mm] $y_1$ [/mm] berechnen, womit du alle vier Punkte angeben kannst.
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:28 Di 25.01.2005 | | Autor: | Gaspy |
.. dann bin ich doch nicht soooo unbegabt
habe tatsächlich sie zweite ableitung der funktion eingesetzt (für y meine ich) und wollte das V dann nach x ableiten aber dachte ich sei da auf dem holzweg.
ist es ein normaler weg mit der ersten ableitung der gesuchten größe zu arbeiten?
damit ich es für die nächste extremwertaufgabe weiss.
und danke für Deine antwort
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Hallo Gaspy,
Deine Notation mit den 4 Punkten habe ich auch nicht verstanden, weshalb ich einfach die Punkte:
[m]\begin{array}{*{20}c}
{r_k } & {f\left( {r_k } \right)} \\
{r_2 } & {f\left( {r_2 } \right)} \\
{r_3 } & {f\left( {r_3 } \right)} \\
{r_4 } & {f\left( {r_4 } \right)} \\
\end{array}[/m]
mit $f(x) := [mm] 2e^{-x}$ [/mm] als die bekannten Punkte deines Vierecks vorrausgesetzt habe. [mm] $\left(r_k, f\left(r_k\right)\right)$ [/mm] ist allerdings unbekannt und wird dann im weiteren zur Volumensfunktion deines Körper in Beziehung gesetzt.
Ich dachte mir nun, daß man dein Viereck durch zwei Geradengleichungen beschreiben kann (schließlich sind uns ja 4 Punkte gegeben). Und zwar indem wir diese Gleichungen in den Intervallen [mm] $\left[r_k, r_2\right]$ [/mm] und [m]\left[r_3, r_4 \right][/m] betrachten. Mittels des Drehkörper-Integrals bestimmen wir dann die Volumen des Drehkörpers der Geraden, die "weiter weg" von der x-Achse ist, und genauso verfahren wir mit der Geraden, die näher zur x-Achse ist. Danach bilden wir die Differenz dieser Volumen und müßten eigentlich auf das Volumen des zu deinem Viereck zugehörigen Drehkörpers kommen. In dieser letzten Gleichung wäre dann [mm] $r_k$ [/mm] unbekannt und wir betrachten also die Volumensfunktion: [mm] $V_{{\text{Viereck}}} \left( {r_k } \right)$.
[/mm]
Zunächst benötigen wir eine Formel zur Bestimmung einer Geradengleichung aus 2 Punkten. Wir betrachten dazu das 2 x 2-System:
[m]\begin{gathered}
ax_1 + b = y_1 \hfill \\
ax_2 + b = y_2 \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Die Determinante lautet:
[m]\left| {\begin{array}{*{20}c}
{x_1 } & 1 \\
{x_2 } & 1 \\
\end{array} } \right| = x_1 - x_2[/m]
Damit erhalten wir für [mm] $a\!$ [/mm] und [mm] $b\!$:
[/mm]
[m]\begin{gathered}
a = \left| {\begin{array}{*{20}c}
{y_1 } & 1 \\
{y_2 } & 1 \\
\end{array} } \right|\frac{1}
{{x_1 - x_2 }} = \frac{{y_1 - y_2 }}
{{x_1 - x_2 }} \hfill \\
b = \left| {\begin{array}{*{20}c}
{x_1 } & {y_1 } \\
{x_2 } & {y_2 } \\
\end{array} } \right|\frac{1}
{{x_1 - x_2 }} = \frac{{x_1 y_2 - x_2 y_1 }}
{{x_1 - x_2 }} \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Damit gilt für eine Gerade:
[m]\Rightarrow g\left( x \right): = \frac{{y_1 - y_2 }}
{{x_1 - x_2 }}x + \frac{{x_1 y_2 - x_2 y_1 }}
{{x_1 - x_2 }} = \frac{1}
{{x_1 - x_2 }}\left( {\left( {y_1 - y_2 } \right)x + x_1 y_2 - x_2 y_1 } \right)[/m]
Die Formel für einen Drehkörper, der um die x-Achse rotiert ist bekannt:
$V = [mm] \pi \int\limits_{x_1 }^{x_2 } {y^2 dx} [/mm] ;y = [mm] f\left( x \right)$
[/mm]
Diese Formel wenden wir nun auf unsere zwei Geraden an (die erste Gerade schneidet die Punkte [mm] $\left(r_k, f\left(r_k\right)\right)$ [/mm] und [m]\left(r_2, f\left(r_2\right)\right)[/m]. Die zweite Gerade schneidet die Punkte [mm] $\left(r_3, f\left(r_3\right)\right)$ [/mm] und [mm] $\left(r_4, f\left(r_4\right)\right)$. [/mm] Für das Volumen des Drehkörpers der ersten Geraden gilt:
[m]\begin{gathered}
V_1 = \pi \int\limits_{r_k }^{r_2 } {\frac{1}
{{r_k - r_2 }}\left( {\left( {f\left( {r_k } \right) - f\left( {r_2 } \right)} \right)x + r_k f\left( {r_2 } \right) - r_2 f\left( {r_k } \right)} \right)dx} \hfill \\
= \frac{\pi }
{{r_k - r_2 }}\left( {\left( {f\left( {r_k } \right) - f\left( {r_2 } \right)} \right)\frac{{r_2 ^2 }}
{2} + r_2 r_k f\left( {r_2 } \right) - r_2 r_2 f\left( {r_k } \right)} \right) - \hfill \\
\frac{\pi }
{{r_k - r_2 }}\left( {\left( {f\left( {r_k } \right) - f\left( {r_2 } \right)} \right)\frac{{r_k ^2 }}
{2} + r_k r_k f\left( {r_2 } \right) - r_k r_2 f\left( {r_k } \right)} \right) \hfill \\
= \frac{\pi }
{{r_k - r_2 }}\left( {\left( {f\left( {r_k } \right) - f\left( {r_2 } \right)} \right)\frac{{r_2^2 }}
{2} + r_2 r_k f\left( {r_2 } \right) - r_2^2 f\left( {r_k } \right) - \left( {f\left( {r_k } \right) - f\left( {r_2 } \right)} \right)\frac{{r_k^2 }}
{2} - r_k^2 f\left( {r_2 } \right) + r_k r_2 f\left( {r_k } \right)} \right) \hfill \\
= \frac{\pi }
{{r_k - r_2 }}\left( {f\left( {r_k } \right)\frac{{r_2^2 }}
{2} - f\left( {r_2 } \right)\frac{{r_2^2 }}
{2} + r_2 r_k f\left( {r_2 } \right) - r_2^2 f\left( {r_k } \right) - f\left( {r_k } \right)\frac{{r_k^2 }}
{2} + f\left( {r_2 } \right)\frac{{r_k^2 }}
{2} - r_k^2 f\left( {r_2 } \right) + r_k r_2 f\left( {r_k } \right)} \right) \hfill \\
= \frac{\pi }
{{r_k - r_2 }}\left( { - f\left( {r_k } \right)\frac{{r_2^2 }}
{2} - f\left( {r_2 } \right)\frac{{r_2^2 }}
{2} + r_2 r_k f\left( {r_2 } \right) + r_2 r_k f\left( {r_k } \right) - \frac{{r_k^2 }}
{2}f\left( {r_k } \right) - \frac{{r_k^2 }}
{2}f\left( {r_2 } \right)} \right) \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Der Ansatz für die zweite Gerade ist genauso (bis auf andere Indizes):
[m]V_2 = \frac{\pi }
{{r_3 - r_4 }}\left( { - f\left( {r_3 } \right)\frac{{r_4^2 }}
{2} - f\left( {r_4 } \right)\frac{{r_4^2 }}
{2} + r_4 r_3 f\left( {r_4 } \right) + r_4 r_3 f\left( {r_3 } \right) - \frac{{r_3^2 }}
{2}f\left( {r_3 } \right) - \frac{{r_3^2 }}
{2}f\left( {r_4 } \right)} \right)[/m]
Meiner Meinung nach gilt nun für das Volumen des Vierecks:
[m]V_{{\text{Viereck}}} = V_1 - V_2[/m]
Die Variable [mm] $r_k$ [/mm] ist uns wie gesagt nicht bekannt, aber wir wollen das Volumen unseres Viereck-Drehkörpers maximal kriegen, also ist dies ein Extremwert-Problem:
[m]V_{{\text{Viereck}}} '\left( {r_k } \right) = 0 \wedge V_{{\text{Viereck}}} ''\left( {r_k } \right) < 0[/m]
Ich habe hier nicht weitergemacht, weil es sonst zu lang geworden wäre. [mm] ($r_k$ [/mm] steht nämlich auch im Nenner des [m]\pi - {\text{Bruches}}[/m]. Es sieht also sehr nach mehrmaliger Anwendung der Quotientenregel aus und da der Ausdruck jetzt schon so lang ist, wollte ich hier nicht mehr weitermachen.
Viele Grüße
Karl
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