Extremwertaufgabe - Anwendung < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 Mo 31.12.2007 | | Autor: | Tea |
| Aufgabe | Aus einem Baumstamm soll ein rechteckiger Balken mit maximalem Volumen
herausgeschnitten werden. Man gehe von der (idealisierten) Situation aus, dass der Baumstamm die Form eines Zylinders hat. |
Das Volumen [mm] $V_{Balken}=abh$, [/mm] die Fläche [mm] $A_{Balken}=ab$ [/mm] und das Volumen des Kreiszylinders mit [mm] $V=\pi r^2 [/mm] h$ sind ja bereits bestimmt.
Wie aber verknüpfe ich das?
Kann ich einfach anstelle dieser Aufgabe versuchen die Frage, wie ich einem Kreis ein Rechteck mit maximalen A einschreibe, zu lösen?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Mo 31.12.2007 | | Autor: | Stoecki |
im prinzip kannst du das machen, da die höhe von baum ja auch der länge des balken am ende entspricht... es würde also reichen eine maximal große grundfläche zu finden. für den fall das dein lehrer pingelig ist, solltest du diese begründung aber dann dabei schreiben
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Di 01.01.2008 | | Autor: | Tea |
Hier ist meine Idee...
[Dateianhang nicht öffentlich]
Nach Skizze habe ich einen rechteckigen Balken mit
Breite b
Höhe a ,
dessen Fläche unter der Nebenbedingung [mm] $a^2 +b^2 =d^2$ \gdw $a=\wurzel{d^2-b^2}$ [/mm] zu maximieren ist.
Meine Zielfunktion habe ich auch abgeändert, da ich ein 2d-Problem habe.
MAX! [mm] A_{Balken}= [/mm] a*b.
Also kann ich mit der NB eine der Unbekannten in der ZF ersetzen.
[mm] $A(b)=b(d^2 -b^2)^{1/2}$
[/mm]
Nun sind Ableitungen erfoderlich.
[mm] $A'(b)=\wurzel{d^2- b^2}-\bruch{b^2}{\wurzel{d^2 -b^2}}$
[/mm]
[mm] $A''(b)=\bruch{2b^3 -3bd^2}{(d^2- b^2)^{1/2}}$
[/mm]
Ich setze die erste Ableitung gleich 0.
[mm] $A'(b)=\wurzel{d^2- b^2}-\bruch{b^2}{\wurzel{d^2 -b^2}} [/mm] =0$.
Daraus folgt [mm] b=\bruch{d}{\wurzel{2}}.
[/mm]
Ich setze in den 2. Ableitung ein, erhalte einen negativen Wert, also liegt an dieser Stelle ein Maximum vor.
Über die NB erhält man den zugehörigen Wert für a.
$a=b$. Also muss ich ein Rechteck ausschneiden.
Stimmt das soweit?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 Di 01.01.2008 | | Autor: | Tea |
Hi Loddar!
Also ich bin ja mal ein Talent.
Ja, du hast Recht, ich meine ein Quadrat.
Wobei ein Quadrat doch auch ein Rechteck ist oder? ;)
Vielen Dank für deine Durchsicht.
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