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Hallo,
komme bei der folgenden Frage nicht so richtig weiter:
Aufgabenstellung: Aus einer rechteckigen Fensterscheiber mit den Seitenlängen a und b ist vom Mittelpunkt der kleineren Seite aus eine Ecke unter ienem Winkel von 45Grad abgesprungen. Aus der restlichen scheibe soll durch schnitte parralel zur den ursprünglichen Seiten ein möglichst große scheibe hergestellt werden.
Folgenmdes habe ich mir überlegt:
tanß= 45Grad das heisst m=1
Ich muss irgendwie die Funktion ausrechnen, die die Fensterscheibe abschneidet aber wie? y=mx+b , m= 1 und b?
Bedanke mich im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 Mo 04.07.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo martinmax> Hallo,
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> komme bei der folgenden Frage nicht so richtig weiter:
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> Aufgabenstellung: Aus einer rechteckigen Fensterscheiber
> mit den Seitenlängen a und b ist vom Mittelpunkt der
> kleineren Seite aus eine Ecke unter ienem Winkel von
> 45Grad abgesprungen. Aus der restlichen scheibe soll durch
> schnitte parralel zur den ursprünglichen Seiten ein
> möglichst große scheibe hergestellt werden.
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> Folgenmdes habe ich mir überlegt:
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> tanß= 45Grad das heisst m=1
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> Ich muss irgendwie die Funktion ausrechnen, die die
> Fensterscheibe abschneidet aber wie? y=mx+b , m= 1 und b?
Da b schon in der Aufgabenstellung für eine Rechteckseite benutzt wird, solltest du hier einen anderen Buchstaben (z.B. n) wählen.
Die Funktionsgleichung ist also y=mx+n.
Da hast du ja schon die Hauptarbeit geleistet. Überleg dir noch, wie du die Scheibe ins Koordinatensystem legst. Mein Vorschlag ist, sie so ins Koordinatensystem zu legen, dass die ursprünglichen Seiten auf den Koordinatenáchsen liegen, und zwar die kleinere Seite (ich nenne sie a) auf die y-Achse. n ist dann gleich [mm] \bruch{a}{2} [/mm]
Deine Funktionsgleichung ist also
[mm] y = x + \bruch{a}{2} [/mm].
Kommst du jetzt weiter? Sonst melde dich.
Noch eins: dies ist eine typische Aufgabe für Randextrema. Vergleiche also unbedingt dein lokales Extremum mit den Randwerten.
Gruß
Sigrid
>
> Bedanke mich im voraus
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Dann habe ich doch die Funktion y= 1x+0,5a
Setze es in die Extremalbedienung ein: A= x*y
A= x* ( 1x+0,5a)
und was dann? was passiert mit dem a. Um eine Lösung wäre ich dankbar
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Hi martinmax,
fertige dir doch eine Skizze an. Du wirst sehen, dass die Höhe der neuen Fensterscheibe dem Funktionswert an der Stelle x entspricht. Für das x der Flächenfunktion kannst du allerdings nicht den x-Wert des Punktes auf der Geraden nehmen.
Wenn du die richtige Flächenfunktion hast, wird nicht nur das a darin enthalten sein, sondern auch das b aus der Aufgabenstellung. Wenn du die beiden Größen nicht gegeben hast, musst du sie als Parameter mitnehmen(was ich mir irgendwie nicht vorstellen kann).
Mfg Matthias
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> Hallo martinmax> Hallo,
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> > komme bei der folgenden Frage nicht so richtig weiter:
> >
> > Aufgabenstellung: Aus einer rechteckigen Fensterscheiber
> > mit den Seitenlängen a und b ist vom Mittelpunkt der
> > kleineren Seite aus eine Ecke unter ienem Winkel von
> > 45Grad abgesprungen. Aus der restlichen scheibe soll durch
> > schnitte parralel zur den ursprünglichen Seiten ein
> > möglichst große scheibe hergestellt werden.
> >
> > Folgenmdes habe ich mir überlegt:
> >
> > tanß= 45Grad das heisst m=1
> >
> > Ich muss irgendwie die Funktion ausrechnen, die die
> > Fensterscheibe abschneidet aber wie? y=mx+b , m= 1 und b?
>
> Da b schon in der Aufgabenstellung für eine Rechteckseite
> benutzt wird, solltest du hier einen anderen Buchstaben
> (z.B. n) wählen.
> Die Funktionsgleichung ist also x=mx+n.
>
> Da hast du ja schon die Hauptarbeit geleistet. Überleg dir
> noch, wie du die Scheibe ins Koordinatensystem legst. Mein
> Vorschlag ist, sie so ins Koordinatensystem zu legen, dass
> die ursprünglichen Seiten auf den Koordinatenáchsen liegen,
> und zwar die kleinere Seite (ich nenne sie a) auf die
> y-Achse. n ist dann gleich [mm]\bruch{a}{2}[/mm]
> Deine Funktionsgleichung ist also
> [mm]y = x + \bruch{a}{2} [/mm].
>
> Kommst du jetzt weiter? Sonst melde dich.
> Noch eins: dies ist eine typische Aufgabe für Randextrema.
> Vergleiche also unbedingt dein lokales Extremum mit den
> Randwerten.
>
> Gruß
> Sigrid
> >
> > Bedanke mich im voraus
Ich bekomme diese aufgabe einfach nicht hin. Kann mir mal jemand diese aufgabe vorrechnen? Das hilft mir besser als die schritzte zu erklären, denn ich kann das dann besser nachvollziehen wenn ich mir die schritte anschaue.
Bitte um Hilfe, ich brauch es bis morgen, weil ich das vor der Klasse vorstellen muss.
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Hallo Martin,
> > Da hast du ja schon die Hauptarbeit geleistet. Überleg dir
> > noch, wie du die Scheibe ins Koordinatensystem legst. Mein
> > Vorschlag ist, sie so ins Koordinatensystem zu legen, dass
> > die ursprünglichen Seiten auf den Koordinatenáchsen liegen,
> > und zwar die kleinere Seite (ich nenne sie a) auf die
> > y-Achse. n ist dann gleich [mm]\bruch{a}{2}[/mm]
> > Deine Funktionsgleichung ist also
> > [mm]y = x + \bruch{a}{2} [/mm].
> >
> > Kommst du jetzt weiter? Sonst melde dich.
> > Noch eins: dies ist eine typische Aufgabe für
> Randextrema.
> > Vergleiche also unbedingt dein lokales Extremum mit den
> > Randwerten.
> >
> > Gruß
> > Sigrid
> > >
> > > Bedanke mich im voraus
>
>
> Ich bekomme diese aufgabe einfach nicht hin. Kann mir mal
> jemand diese aufgabe vorrechnen? Das hilft mir besser als
> die schritzte zu erklären, denn ich kann das dann besser
> nachvollziehen wenn ich mir die schritte anschaue.
>
> Bitte um Hilfe, ich brauch es bis morgen, weil ich das vor
> der Klasse vorstellen muss.
Hast du dir schon eine Skizze gemacht?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Der Punkt P liegt auf der Bruchstrecke, die tatsächlich die Steigung m = 1 hat und bei [mm] \bruch{b}{2} [/mm] die x-Achse schneidet.
Nun überlege dir mal, wie die Längen des kleinen Rechtecks mit Hilfe von a, b und x und y beschrieben werden können, damit du anschließend die Fläche des grünen Rechtecks berechnen kannst.
Vorsicht: es gilt: [mm] \bruch{b}{2} [/mm] < x < b !!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo,
Skizzen habe ich schon gemacht, aber was ist dann die Lösung für die Aufgabe? Irgendwie kommen wir nicht weiter? kann es mal jemand vorrechnen?
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Hallo Martin,
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> Skizzen habe ich schon gemacht, aber was ist dann die
> Lösung für die Aufgabe? Irgendwie kommen wir nicht weiter?
> kann es mal jemand vorrechnen?
nein, nicht wirklich ... 
nur wenn du selbst rechnest, wirst du die Aufgabe verstehen ...
Sei also P (x;y) die untere rechte Ecke des neuen (grünen) Rechtecks.
Dann gilt: $y = x - [mm] \bruch{b}{2}$ [/mm] mit [mm] $\bruch{b}{2} [/mm] < x < b$ (Nebenbedingung)
Nun die Rechtecksseiten des grünen Rechtecks:
nach oben: $a - y = a - (x - [mm] \bruch{b}{2})$
[/mm]
nach rechts: x
Also ist die Fläche: A = x (a-y) mit [mm] $\bruch{b}{2} [/mm] < x < b$; sie soll möglichst groß werden! (Extremalbedingung)
Kannst du jetzt allein weiter rechnen?
Zeig uns deinen Weg, möglichst mit Ergebnis, vor allem beachte die Randwerte!
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A= x* ( a-1x+0,5a)
= ax [mm] -1x^2+0,5a
[/mm]
A´=1a-2x0,5a /
0=1,5a-2x / +2x
2x=1,5a /2
x= 0,75a
Ist das richtig? Was ist a? Könnte m,ir das mal jemand BITTE richtig ausrechen
BIIIIIIIIIIITTTTTTTTTTTTTTEEEEEEEE.
mfg martinmax1234
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Hallo Martin,
> A= x* ( a-1x+0,5a) ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
wie kommst du denn da drauf?
> = ax [mm]-1x^2+0,5a[/mm]
> A´=1a-2x0,5a /
> 0=1,5a-2x / +2x
> 2x=1,5a /2
> x= 0,75a
>
> Ist das richtig? Was ist a? Könnte mir das mal jemand
> BITTE richtig ausrechen
>
> BIIIIIIIIIIITTTTTTTTTTTTTTEEEEEEEE.
wer wird denn gleich weinen?!
Ich schrieb:
nach oben: $ a - y = a - (x - [mm] \bruch{b}{2}) [/mm] $
nach rechts: x
Also ist die Fläche: A = x (a-y) mit $ [mm] \bruch{b}{2} [/mm] < x < b $;
$A(x) = x* ( a - (x - [mm] \bruch{b}{2})) [/mm] = x*( a + [mm] \bruch{b}{2}- [/mm] x)$
$A(x) = (a + [mm] \bruch{b}{2}) [/mm] * x - [mm] x^2$
[/mm]
$A'(x) = (a + [mm] \bruch{b}{2}) [/mm] -2x = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x = [mm] \bruch{a}{2} [/mm] + [mm] \bruch{b}{4}$
[/mm]
da a>b gilt, ist der Wert für x im Definitionsbereich von A(x).
Jetzt solltest du noch die maximale Fläche und die Randwerte für $x = [mm] \bruch{b}{2}$ [/mm] und x = b berechnen und damit kontrollieren, dass unser Maximum auch wirklich die maximale Fläche ergibt.
Man könnte auch mit der Form der Funktion argumentieren.
Alles klar?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:27 Mo 04.07.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo martinmax
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> A= x* ( a-1x+0,5a)
Informix geht von einer anderen Zeichnung aus, als ich sie im Kopf hatte. Tut mir leid, ich hätte die Zeichnung dazu setzen sollen. Bei ihr ist b die kürzere Seite und die abgeschnittene Ecke geht von der x-Achse aus. Damit ist die Gleichung, die die Schnittkante beschreibt, nicht
[mm] y = x + \bruch{a}{2} [/mm]
sondern
[mm] y = x - \bruch{b}{2} [/mm]
also gilt
[mm] A(x) = x \cdot (a - (x - \bruch{b}{2}) [/mm]
Du siehst, die Gleichung für die Schnittkante, aber auch die Gleichung der Zielfunktion hängt von der Lage der Scheibe im Koordinatensystem ab.
Gruß
Sigrid
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Wie berechne ich jetzt den maximaloen Flächeninhalt?
ich habe ja als ergebnis nur: x= 0,5a+0,25b
Was soll ich damit anfangen?
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> Wie berechne ich jetzt den maximaloen Flächeninhalt?
> ich habe ja als ergebnis nur: x= 0,5a+0,25b
> Was soll ich damit anfangen?
noch einmal:
Ich schrieb:
nach oben: $ a - y = a - (x - [mm] \bruch{b}{2}) [/mm] $ (*)
nach rechts: x
Das sind doch die Seiten des gesuchten Rechtecks!
jetzt hast du: $x = [mm] \bruch{1}{2}a [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}b$ [/mm] als erste Seite,
das setzt du jetzt in die zweite Gleichung (*) ein.
Damit erhältst du die beiden Seitenlängen des maximalen Rechtecks,
dessen Fläche sich dann aus dem Produkt dieser beiden Seiten ergibt.
Natürlich kommen die beiden Ausgangsvariablen a und b immer noch vor!
Rechne mal! Es sollte sich ein Quadrat ergeben!
Vergiss nicht, die Randwerte [mm] A(\bruch{b}{2}) [/mm] und A(b) auszurechnen, damit du erkennst, dass der berechnete [mm] A_{max}-Wert [/mm] tatsächlich das Maximum darstellt!
Aber keine Sorge, A(x) ist ja eine nach unten geöffnete Parabel; da sollte nichts schief gehen können! Also mehr als Übung gedacht.
Alles klar?
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Hallo,
habe alles verstanden bis auf die folgende Gleichunh:
a-y=a-(x-0,5b) Wie kommt man da drauf? Das ist doch dann unsere Extremalbedienung und da wir den maximalen Flächeninhalt brauchen
müßte doch die Extremalbedienung A= a * b sein oder nicht?
Über eine erläuterung wäre ich dankbar
mfg martinmax1234
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Hallo Martin,
>
> habe alles verstanden bis auf die folgende Gleichung:
>
> a-y=a-(x-0,5b) Wie kommt man da drauf? Das ist doch
> dann unsere Extremalbedienung und da wir den maximalen
> Flächeninhalt brauchen
> müßte doch die Extremalbedienung A= a * b sein oder
> nicht?
> Über eine erläuterung wäre ich dankbar
>
> mfg martinmax1234
schau dir nochmal meine Skizze an!
Der Punkt P hat die Koordinaten x und y.
Damit hat das grüne Rechteck die Breite x und die Höhe h = a - y und
für y gilt: $ y = x - [mm] \bruch{b}{2} [/mm] $ , weil der Punkt ja auf der Geraden liegt!
Jetzt klar?
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Hallo,
habe jetzt die seite x mit x= 0,5a+0,25b
Jetzt einsetzen in y= 1x-0,5b
zwiete Seite also y= 0,5a-0,25b
Danach Randextrema untersucht und ich habe dann ein Randextrema bei b.
Das heisst y=0,5a + 0,5b
Ist das so richtig?
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> Hallo,
>
> habe jetzt die seite x mit x= 0,5a+0,25b
> Jetzt einsetzen in y= 1x-0,5b
>
> zwiete Seite also y= 0,5a-0,25b
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jetzt die Fläche [mm] A_{max} [/mm] berechnen:
[mm] $A_{max} [/mm] = x * h = [mm] (\bruch{a}{2} [/mm] + [mm] \bruch{b}{4}) [/mm] * (a - [mm] (\bruch{a}{2}-\bruch{b}{4})) [/mm] = [mm] (\bruch{a}{2} [/mm] + [mm] \bruch{b}{4})^2$
[/mm]
>
> Danach Randextrema untersucht und ich habe dann ein
> Randextrema bei b.
> Das heisst y=0,5a + 0,5b
>
> Ist das so richtig?
nein
lies doch bitte hier nach, wie du die Randwerte berechnest!
Wir hatten $ A(x) = (a + [mm] \bruch{b}{2}) \cdot{} [/mm] x - [mm] x^2 [/mm] $ als Zielfunktion festgestellt,
dort setzt du jetzt für x einmal b/2 und dann b ein und vergleichst dies mit dem Wert von [mm] A_{max}.
[/mm]
Aber, wie schon gesagt, da A(x) eine nach unten geöffnete Parabel ist, ist das relative Maximum automatisch auch das absolute Maximum.
Ich schreibe dir bewusst nicht die ganze Rechnung im Ganzen auf, damit du das nochmal selbst tust; erst dann kannst du sicher sein, dass du alles verstanden hast.
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