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| Aufgabe | Aufgabe 7)
Der Querschnitt eines Kanals ist ein Rechteck mit angesetztem Halbkreis. Wähle die Maße dieses Rechtecks so, dass bei gegebenem Umfang u des Querschnitts sein Flächeninhalt möglichst groß wird. |
Hallo Leute!
Ich habe nur eine kurze Frage zur Aufgabe, da ich etwas nicht verstehe. Dort steht "Wähle die Maße dieses Rechtecks so, dass bei gegebenem Umfang u des Querschnitts sein Flächeninhalt möglichst groß wird."
Aber es ist doch kein Umfang gegeben, oder verstehe ich irgendwas falsch?
Den Flächeninhalt des gesamten Querschnitts:
[m]a * 2r + \bruch{\pi * r^2}{2}[/m]
Der Flächeninhalt des Rechtecks:
[m]a * 2r[/m]
Umfang des Querschnitts:
[m]U = \pi * r[/m]
Liebe Grüße!
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Hallo Steffi2012,
> Aufgabe 7)
> Der Querschnitt eines Kanals ist ein Rechteck mit
> angesetztem Halbkreis. Wähle die Maße dieses Rechtecks
> so, dass bei gegebenem Umfang u des Querschnitts sein
> Flächeninhalt möglichst groß wird.
> Hallo Leute!
>
> Ich habe nur eine kurze Frage zur Aufgabe, da ich etwas
> nicht verstehe. Dort steht "Wähle die Maße dieses
> Rechtecks so, dass bei gegebenem Umfang u des Querschnitts
> sein Flächeninhalt möglichst groß wird."
>
> Aber es ist doch kein Umfang gegeben, oder verstehe ich
> irgendwas falsch?
Setze den Umfang allgemein an.
>
> Den Flächeninhalt des gesamten Querschnitts:
> [m]a * 2r + \bruch{\pi * r^2}{2}[/m]
>
> Der Flächeninhalt des Rechtecks:
> [m]a * 2r[/m]
>
> Umfang des Querschnitts:
> [m]U = \pi * r[/m]
Hier fehlt doch noch der Umfang des Rechtecks:
[mm]U=\pi*r+\blue{2*r+2*a}[/mm]
> Liebe Grüße!
Gruss
MathePower
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Hmm, ich habe irgendwo einen Denkfehler...
Extremalbedingung:
[m]A = a * 2r + \bruch{\pi*r^2}{2}[/m]
Nebenbedingung:
[m] U = \pi*r + 2r + 2a <=> U = -2,571*r = a[/m]
Ist die Auflösung nach a richtig??
Zielfunktion:
(ich setze a von der Nebenbedingung in die Extremalbedingung)
[m]-2,571*r * 2r + \bruch{\pi*r^2}{2}[/m]
Ist das soweit richtig? Wenn ja, dann kann man die Zielfunktion doch direkt nach r auflösen, oder? Aber eigentlichen bestimmen wir immer die Extremalwerte nachdem wir die Zielfunktion finden. Fällt das in diesem Falle weg?
Danke euch!
Steffi
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Hallo Steffi2012,
> Hmm, ich habe irgendwo einen Denkfehler...
>
> Extremalbedingung:
> [m]A = a * 2r + \bruch{\pi*r^2}{2}[/m]
>
> Nebenbedingung:
> [m]U = \pi*r + 2r + 2a <=> U = -2,571*r = a[/m]
Das soll wohl so heißen: [mm]U-2.571*r=a[/mm]
Das ist nicht ganz richtig.
Richtig muß es lauten:
[mm]\bruch{U}{\red{2}}-\bruch{\pi+2}{2}*r=a[/mm]
> Ist die
> Auflösung nach a richtig??
>
> Zielfunktion:
> (ich setze a von der Nebenbedingung in die
> Extremalbedingung)
> [m]-2,571*r * 2r + \bruch{\pi*r^2}{2}[/m]
>
> Ist das soweit richtig? Wenn ja, dann kann man die
> Zielfunktion doch direkt nach r auflösen, oder? Aber
> eigentlichen bestimmen wir immer die Extremalwerte nachdem
> wir die Zielfunktion finden. Fällt das in diesem Falle
> weg?
Nein.
Jetzt hast Du eine Zielfunktion, die nur noch von einer Variablen abhängig ist.
Von dieser Zielfunktion kannst Du jetzt die Extrema bestimmen.
>
> Danke euch!
>
> Steffi
Gruss
MathePower
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Okay, danke dir.
Das mit dem U habe ich wirklich vergessen.
Also bevor ich weiter mache und die Extrema berechne, möchte ich erstmal sichergehen um meine Zielfunktion überhaupt richtig ist.
Also a wird in die Extremalbedingung eingesetzt:
[m]A = (\bruch{U}{{2}}-\bruch{\pi+2}{2}\cdot{}r)*2r + \bruch{\pi*r^2}{2}[/m]
[m]<=> A = Ur-\bruch{\pi+2}{2}*2r^2 + \bruch{\pi*r^2}{2} [/m]
[m]<=> A = 2Ur - (\pi + 2)*2r^2 + \pi*r^2 [/m]
[m]<=> A = 2Ur - 2*r^2*\pi + 4*r^2 + \pi*r^2 [/m]
[m]<=> A = 2Ur + r^2 (-2*\pi + 4 +\pi)[/m]
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Hallo, das Auflösen der Klammern war nich erfolgreich
A(r) = [mm] (\bruch{u}{{2}}-\bruch{\pi+2}{2}\cdot{}r)\cdot{}2r [/mm] + [mm] \bruch{\pi\cdot{}r^2}{2}
[/mm]
[mm] A(r)=(\bruch{u}{2}-\bruch{\pi*r}{2}-r)*2r+\bruch{1}{2}*\pi*r^2
[/mm]
[mm] A(r)=u*r-\pi*r^2-2*r^2+\bruch{1}{2}*\pi*r^2
[/mm]
Steffi
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