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| Aufgabe | Ein oben offener eiserner Behälter für einen Wasserleitungsturm hat die Form eines geraden Zylinders, an den nach unten ein gerader Kegel mit einem Winkel an der Spitze von 120° angeschweißt wurde.
Wie groß sind der Radius (r) des Behälters, die Höhe des Kegels (x) und die Höhe des Zylinders (y) zu wählen, damit bei gegebenem Volumen von V = 4000pi [mm] m^3 [/mm] möglichst wenig Eisenblech gebraucht wird? Beweise auch, daß es sich beim Materialaufwand um ein Minium handelt! |
V = [mm] r^2 \pi [/mm] y + [mm] \bruch{r^2 \pi x}{3} [/mm] = 4000 [mm] \pi m^3
[/mm]
O = [mm] 2r\pi [/mm] y + r [mm] \pi \wurzel{r^2 + x^2}
[/mm]
Die Wurzel bei der Oberfläche kommt durch die Sehnenlänge des Kegels zustande (Pytagoras). Ich hoffe man kann es so machen...
Das Volumen ist ja meine Nebenfunktion und die Oberfläche, die minimal werden soll meine Hauptfunktion.
Jetzt meine Fragen, was tu ich mit dem Winkel des Kegels und auf was muss ich meine Nebenfunktion umforen?
Thx Stefan
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 Mi 15.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn ich das richtig verstehe, gilt bei dem Kegel:
[mm] \tan(\bruch{120°}{2})=\bruch{r}{h}
[/mm]
(mach dir eine Skizze dazu)
Und ![[]](/images/popup.gif) da [mm] \tan(60°)=\wurzel{3}, [/mm] gilt dann
[mm] h=\bruch{r}{\wurzel{3}}
[/mm]
Also gilt für den Kegel:
[mm] V=\bruch{\pi*r²*h}{3*\wurzel{3}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\pi*r³}{3\wurzel{3}}
[/mm]
Somit gilt hier in deinem Fall:
[mm] V=\underbrace{\pi*r²*h_{zyl.}}_{\text{Zylindervolumen}}+\underbrace{\bruch{\pi*r³}{3\wurzel{3}}}_{\text{Kegelvolumen}}
[/mm]
Um das [mm] h_{zyl.} [/mm] noch zu isolieren, brauchst du jetzt die Nebenbedingung mit der Oberfläche:
[mm] O=\underbrace{2\pi*r*h_{zyl.}}_{\text{Zylindermantel}}+\underbrace{\bruch{\pi*r*s}{3\wurzel{3}}}_{\text{Kegelmantel}}
[/mm]
(hier ist s die Mantellinie und man kann sie mit [mm] s=\wurzel{h_{kegel}*r} [/mm] bestimmen, also hier: [mm] s=\wurzel{\wurzel{3}*r*r}=\wurzel{\wurzel{3}*r²}=\wurzel[4]{3}r [/mm] )
Also
[mm] O=\underbrace{2\pi*r*h_{zyl.}}_{\text{Zylindermantel}}+\underbrace{\bruch{\pi*r*\wurzel[4]{3}r}{3\wurzel{3}}}_{\text{Kegelmantel}}
[/mm]
[mm] =2\pi*r*h_{zyl.}+\bruch{\pi*r²\wurzel[2]{3}}{3}
[/mm]
[mm] =2\pi*r*h_{zyl.}+\bruch{\pi*r²\wurzel[2]{3}}{3}
[/mm]
[mm] =2\pi*r*h_{zyl.}+\bruch{\pi*r²}{\wurzel{3}}
[/mm]
Den Wert für die Oberfläche hast du ja mit [mm] 4000\pi [/mm] [m³]
Also: [mm] 4000\pi=2\pi*r*h_{zyl.}+\bruch{\pi*r²}{\wurzel{3}}
[/mm]
Das ganze kannst du jetzt nach der Zylinderhöhe umformen, diese dann in das Volumen einsetzen, und damit dann V(r) bestimmen, dessen Maximum du suchst.
Marius
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ok super für die schnelle antwort
kleiner fehler hat sich eingeschlichen
gesucht ist die Oberfläche.... hast du anscheinend verwechselt, geht aber analog dazu
thx probiers gleich aus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:22 Mi 15.10.2008 | | Autor: | ScherlOMatic |
Möchte nur gerne eine Bestätigung haben ob ich hier eh richtig vorgegangen bin und das Ergebnis korrekt ist.
Hab meinen Lösungsweg hier als Pdf hochgeladen, also bitte nicht schrecken, habs mit Derive getippt
http://www.files.to/get/435430/grdbdk92wk
Thx nochmal
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:26 Do 16.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das downloaden des PDFs beim angegebenen Link geht bei mir irgendwie nicht. Mach dir doch mal die Mühe, die Lösung hier im Forum zu posten.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:04 Do 16.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Irgendwie blicke ich durch die Rechnung nicht durch!
Also nochmal von Vorne:
Wir haben (Die Rechnung ist ja in meiner ersten Antwort):
[mm] O=2\pi\cdot{}r\cdot{}h_{zyl.}+\bruch{\pi\cdot{}r²}{\wurzel{3}}
[/mm]
Und wir haben
[mm] V=\pi\cdot{}r²\cdot{}h_{zyl.}+\bruch{\pi\cdot{}r³}{3\wurzel{3}}
[/mm]
Jetzt hast du [mm] V=4000\pi [/mm] gefordert
Also:
[mm] 4000\pi=\pi\cdot{}r²\cdot{}h_{zyl.}+\bruch{\pi\cdot{}r³}{3\wurzel{3}}
[/mm]
[mm] \gdw 4000=r²*h_{zyl.}+\bruch{r³}{3\wurzel{3}}
[/mm]
[mm] \gdw 4000-\bruch{r³}{3\wurzel{3}}=r²*h_{zyl}
[/mm]
[mm] \gdw h_{zyl}=\bruch{4000}{r²}-\bruch{r}{3\wurzel{3}}
[/mm]
Also hast du die Oberfläche:
[mm] O=2\pi\cdot{}r\cdot{}h_{zyl.}+\bruch{\pi\cdot{}r²}{\wurzel{3}}
[/mm]
[mm] =2\pi\cdot{}r\cdot{}\left(\bruch{4000}{r²}-\bruch{r}{3\wurzel{3}}\right)+\bruch{\pi\cdot{}r²}{\wurzel{3}}
[/mm]
[mm] =\bruch{8000\pi}{r}-\bruch{2\pi*r²}{3\wurzel{3}}+\bruch{3\pi\cdot{}r²}{3\wurzel{3}}
[/mm]
[mm] =\bruch{8000\pi}{r}+\bruch{\pi\cdot{}r²}{3\wurzel{3}}
[/mm]
[mm] =800\pi*\bruch{1}{r}+\bruch{\pi}{3\wurzel{3}}*r²
[/mm]
[mm] =800\pi*r^{-1}+\bruch{\pi}{3\wurzel{3}}*r²
[/mm]
Und hiervon suchst du das Minimum.
Also [mm] O'(r_{opt})=0 [/mm] und als Probe [mm] O''(r_{opt})>0
[/mm]
Und am Ende die minimale Oberfläche [mm] O(r_{opt}) [/mm] und die zugehörigen weiteren Grössen der Figur
Marius
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Hab das pdf eh auch als anhang mitgeschickt... sollt doch passen
Hier gehts um ein anderes bsp. also nicht mehr mit V = 4000 [mm] \pi m^3
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:32 Do 16.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
> Hab das pdf eh auch als anhang mitgeschickt... sollt doch
> passen
Ich habe es damit ja dann auch durchgelesen
>
> Hier gehts um ein anderes bsp. also nicht mehr mit V = 4000
> [mm]\pi m^3[/mm]
Dann stelle die Frage in einem neuen Diskussionsstrang, mit der zugehörigen Frage. Somit bekommst du eher Antworten.
Marius
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Ja tut mir leid für die Verwirrung, hab gerade gesehen, dass die Fragestellung, die ich eingegeben habe, irgendwie verschluckt worden ist.
Aber im Prinzip sollt die Rechnung passen.
lg Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:52 Do 16.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Stell die gesamte Aufgabe dann sinnvollerweise komplett in einem neuen Diskussionsstrang, dadurch bekommst du mit Sicherheit eher Antworten, als hier.
Marius
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