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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 So 28.09.2008 | | Autor: | mitex |
| Aufgabe | Von einem Hafen A fährt eine Yacht mit der Geschwindigket 40km/h in Richtung einer 145 km entfernten Insel B. Gleichzeitig verlässt ein Frachtschiff mit der Geschwindigkeit 24 km/h die Insel B in einer zur Yachtroute normalen Fahrtroute.
Nach welcher Zeit ist der Abstand beider Schiffe am geringsten? |
Grüß euch,
habe zu diesem Beispiel leider überhaupt keinen Ansatzpunkt.
Ich habe mir eine Skizze angefertigt, ungefähr so:
F
|\
x| \ y
| \
| \
A ---------------- B
145
Ich sehe hier ein rechtwinkeliges Rechteck und das ist auch schon alles.
Schon mal vielen Dank für eure Bemühungen,
Gruß
mitex
PS: Habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
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Hi, mitex,
> Von einem Hafen A fährt eine Yacht mit der Geschwindigket
> 40km/h in Richtung einer 145 km entfernten Insel B.
> Gleichzeitig verlässt ein Frachtschiff mit der
> Geschwindigkeit 24 km/h die Insel B in einer zur Yachtroute
> normalen Fahrtroute.
> Nach welcher Zeit ist der Abstand beider Schiffe am
> geringsten?
> Grüß euch,
>
> habe zu diesem Beispiel leider überhaupt keinen
> Ansatzpunkt.
>
> Ich habe mir eine Skizze angefertigt, ungefähr so:
>
>
> F
> |\
> x| \ y
> | \
> | \
> A ---------------- B
>
> 145
>
> Ich sehe hier ein rechtwinkeliges Rechteck und das ist auch
> schon alles.
Aus der Skizze werd' ich nicht so ganz schlau!
Ich würd's eher in ein Koordinatensystem legen und zwar so, dass die Insel B im Ursprung liegt und das 2.Schiff von dort aus quasi "auf der y-Achse nach oben" fährt.
Der Hafen A liegt auf der x-Achse 145 LE (=km) entfernt und das 1.Schiff fährt von hier aus "nach links, auf den Ursprung zu".
Dann hat das 1. Schiff nach t Stunden den Punkt A*(145 - 40*t ; 0) erreicht, das 2. Schiff nach derselben Zeit den Punkt B*(0; 24*t).
Der Abstand d(t) der beiden Punkte A* und B* berechnet sich nach Pythagoras wie folgt:
d(t) = [mm] \wurzel{(145-40t)^{2}+(24t)^{2}}
[/mm]
Eigentlich müsstest Du nun für d(t) ein Minimum suchen;
die Aufgabe erleichtert sich jedoch, wenn Du Dir klar machst, dass dasselbe t rauskommt, wenn Du stattdessen
g(t) = [mm] d^{2}(t) [/mm] = [mm] (145-40t)^{2}+(24t)^{2}
[/mm]
betrachtest.
Wie's weitergeht, weißt Du sicher selbst!
mfG!
Zwerglein
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 20:38 So 28.09.2008 | | Autor: | zetamy |
> Aus der Skizze werd' ich nicht so ganz schlau!
> Ich würd's eher in ein Koordinatensystem legen und zwar
> so, dass die Insel B im Ursprung liegt und das 2.Schiff von
> dort aus quasi "auf der y-Achse nach oben" fährt.
> Der Hafen A liegt auf der x-Achse 145 LE (=km) entfernt
> und das 1.Schiff fährt von hier aus "nach links, auf den
> Ursprung zu".
>
> Dann hat das 1. Schiff nach t Stunden den Punkt A*(145 -
> 40*t ; 0) erreicht, das 2. Schiff nach derselben Zeit den
> Punkt B*(0; 24*t).
>
> Der Abstand d(t) der beiden Punkte A* und B* berechnet sich
> nach Pythagoras wie folgt:
>
> d(t) = [mm]\wurzel{(145-40t)^{2}+(24t)^{2}}[/mm]
>
> Eigentlich müsstest Du nun für d(t) ein Minimum suchen;
> die Aufgabe erleichtert sich jedoch, wenn Du Dir klar
> machst, dass dasselbe t rauskommt, wenn Du stattdessen
> g(t) = [mm]d^{2}(t)[/mm] = [mm](145-40t)^{2}+(24t)^{2}[/mm]
> betrachtest.
Hatte einen Vorzeichenfehler, sorry. Die obige Lösung ist natürlich richtig.
Lg, zetamy
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Hi, mitex und zetami,
meine Antwort und auch der von mir genannte Funktionsterm
g(t) = [mm] (145-40t)^{2}+(24t)^{2}
[/mm]
IST RICHTIG!
Folgende Überlegung steckt dahinter:
Wenn Du unter vielen Längen (d(t)!) ein Extremum suchst,
dann kommt dasselbe Ergebnis für die Variable (t) heraus
wie wenn Du für das Quadrat [mm] (d^{2}(t)) [/mm] ein Extremum berechnest:
Ein Quadrat ist um so kleiner, je kürzer seine Seitenlänge ist!
Die Sache lässt sich aber auch REIN Mathematisch begründen:
Sei d(t) = [mm] \wurzel{g(t)} [/mm] mit g(t) > 0
Dann ist die Ableitung nach der Kettenregel:
d'(t) = [mm] \bruch{g'(t)}{2*\wurzel{g(t)}}
[/mm]
Aus d'(t) = 0 folgt also: g'(t) = 0.
Und das vereinfacht unsere Rechnung natürlich schon!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:16 So 28.09.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> Nach welcher Zeit ist der Abstand beider Schiffe am geringsten?
Und was kommt da nun konkret raus?
Ich habe da etwa 2 Stunden 40 Minuten raus. (So ganz auf die Sekunde genau kommt das nicht hin)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:25 So 28.09.2008 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, rabilein,
> > Nach welcher Zeit ist der Abstand beider Schiffe am
> geringsten?
>
> Und was kommt da nun konkret raus?
>
> Ich habe da etwa 2 Stunden 40 Minuten raus. (So ganz auf
> die Sekunde genau kommt das nicht hin)
Naja, gerundet ist das richtig!
Exakt kommt raus: [mm] \bruch{725}{272} [/mm] Stunden.
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:40 So 28.09.2008 | | Autor: | mitex |
Hallo Zwerglein,
herzlichen Dank für deine Hilfe, mein Ergebnis ist:
2h 39' 3", aber das hast du ja bereits vor mir gehabt.
Hab noch einen schönen Abend.
Gruß, Mitex
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