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Extremwertaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:19 So 27.01.2008
Autor: M4rc

Aufgabe
6. Ein Unternehmen hat zwei unabhängige Verkaufsfilialen, deren Gewinne G1(x) bzw. G2(y) von den eingesetzten Kapitalmengen x und y in folgender Weise abhängen
G1(x)=ln(1+x)
G2(y)=y/(1+y)
Bestimmen Sie den maximalen Gewinn G1+G2 unter der Bedingung, dass insgesamt 10 Geldeinheiten zur Verfügung stehen.

Meine Zeilfunktion ist G1+G2 also:

f=ln(1+x)+y/(1+y)

meine nebenbedingung: x+y=10 -> y=10-x

eigensetzt

f=ln(1+x)+(10-x)/(11-x)

das abgeleitet:

f'= 1/(1+x) - 1/(11-x)²

nullgesetzt und auf den gelichen nenner gebracht ergibt das dann

(11-x)²/((1+x)(11-x)²) - (1+x)/((11-x)²(1+x)) = 0

jetzt multipizieren mit nenner  und dann ausmutiplizieren

bekomm ich 120-21x+x² =0

wenn ich das nun in die pq formel einsetze erhalte ich keine lösungen.

Kann mir jmd sagen was ich falsch gemacht hab?

Danke


        
Bezug
Extremwertaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:40 So 27.01.2008
Autor: canuma

Hi,
ich versuchs mal.

>  Meine Zeilfunktion ist G1+G2 also:
>  
> f=ln(1+x)+y/(1+y)
>
> meine nebenbedingung: x+y=10 -> y=10-x
>  
> eigensetzt
>  
> f=ln(1+x)+(10-x)/(11-x)
>  
> das abgeleitet:
>  
> f'= 1/(1+x) - 1/(11-x)²
>

Die Fkt. f würde ich auchso bestimmen.
Bei f' komme ich aber auf eine andere Lösung.

[mm] f^{'}#=\bruch{1}{x+1}+\bruch{1}{x-11}-\bruch{x-10}{(x-11)^{2}} [/mm]
oder
[mm] f^{'}#=\bruch{x^{2}-23x+120}{(x+1)(x-11)^2} [/mm]

jetzt bekommst du im weiteren Schritt auch 2 Lösungen. ;-)

Bezug
                
Bezug
Extremwertaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:38 So 27.01.2008
Autor: M4rc


> Hi,
>  ich versuchs mal.
>  >  Meine Zeilfunktion ist G1+G2 also:
>  >  
> > f=ln(1+x)+y/(1+y)
> >
> > meine nebenbedingung: x+y=10 -> y=10-x
>  >  
> > eigensetzt
>  >  
> > f=ln(1+x)+(10-x)/(11-x)
>  >  
> > das abgeleitet:
>  >  
> > f'= 1/(1+x) - 1/(11-x)²
>  >

> Die Fkt. f würde ich auchso bestimmen.
>  Bei f' komme ich aber auf eine andere Lösung.
>  
> [mm]f^{'}#=\bruch{1}{x+1}+\bruch{1}{x-11}-\bruch{x-10}{(x-11)^{2}}[/mm]
>  oder
>  [mm]f^{'}#=\bruch{x^{2}-23x+120}{(x+1)(x-11)^2}[/mm]
>  

wie kommst du darauf? ich komm immer wieder zu der gleichen Ableitung.

[mm] \bruch{1}{1+x} -\bruch{1}{11-x} [/mm]

ln(x+1) ist [mm] \bruch{1}{1+x} [/mm] abgeleitet

[mm] \bruch{10-x}{11-x} [/mm] nach der Quotienten regel ableite gibt das.

[mm] \bruch{((11-x)*(-1))-((-1)(10-x)}{(11-x)²} [/mm]

Und zusammen gefasst hab ich [mm] -\bruch{1}{(11-x)²} [/mm]

> jetzt bekommst du im weiteren Schritt auch 2 Lösungen. ;-)


Bezug
                        
Bezug
Extremwertaufgabe: falsch zusammengefasst
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:42 So 27.01.2008
Autor: Loddar

Hallo M4rc!


Dann musst Du wohl einen Fehler beim Zusammenfassen machen:

$$f'(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{1+x}-\bruch{1}{(11-x)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(11-x)^2-(1+x)}{(1+x)*(11-x)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{121-22*x+x^2-1-x}{(1+x)*(11-x)^2} [/mm] \ = \ ...$$

Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Extremwertaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:45 So 27.01.2008
Autor: M4rc

ja jetzt hab ich ihn gefunden danke

Bezug
                                
Bezug
Extremwertaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:36 Mi 30.01.2008
Autor: M4rc

Gut jetzt hab ich also 2 Lösungen 8 und 15...
die 15 fällt weg weil die schon grösser als 10 ist und x+y=10 sind oder?
und jetzt setz ich in G(x,y) einfach 8 und 2 ein und dann hab ich den maximalen gewinn???


Bezug
                                        
Bezug
Extremwertaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:03 Mi 30.01.2008
Autor: canuma

Hi,

> Gut jetzt hab ich also 2 Lösungen 8 und 15...
>  die 15 fällt weg weil die schon grösser als 10 ist und

richtig

> x+y=10 sind oder?

oder so?
10 Geldeinheiten stehen zur Verfügung.
Die können auf die beiden Funktionen G1(x)und G2(y) aufgeteilt werden.
Also stimmt x+y=10 aber für G1(x)und G2(y)
Wir haben asu diesen beiden, eine Funktion f gemacht. Also interessiert uns das y nicht mehr, da in f ja nur noch x vorkommt. Also muss nur x<11 gelten.

>und jetzt setz ich in G(x,y) einfach 8 und 2 ein und dann
>hab ich den maximalen gewinn???
  
Zwei ist keine Lösung die du erhalten hast.
Wenn dein G(x,y)=f ist was du definiert hast dann stimmt's
also du berechnest f(8) das ist dein max Gewinn.

Was haben wir gemacht?
1.G1(x)und G2(y) haben wir addiert und die Funktion f erhalten.
2. Die Ableitung von f gebildet, da die 1.Ableitung Null gesetzt, uns den x Wert liefert, für den die Funktion f ihr Maximum hat(Hochpunkt)
3. Wir brauchen aber den y wert. Die Y-Achse ist ja unser Gewinn. Also x in f einsetzen und wir haben die Lösung.
Also dein Höchsten Punkt auf der Funktion f berechnet.

Versuch dir solche Dinge am Anfang grafisch darzustellen. Das verdeutlicht die ganze Sache.
[Dateianhang nicht öffentlich]
lg canuma

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Bezug
                                                
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Extremwertaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:15 Mi 30.01.2008
Autor: M4rc

nice thx

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