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| Aufgabe | Gegeben sind: [mm] T(-\wurzel{a}/-\bruch{2}{\wurzel{a}}) [/mm] und [mm] H(\wurzel{a}/\bruch{2}{\wurzel{a}}) [/mm]
Die Strecke von T nach H soll die Seite eines Quadrats bilden. Ermitteln Sie den Wert von a, für den der Flächeninhalt dieses Quadrats minimal wird. |
Hallo,
allsooo.. sitze schon was länger daran... Habe mir dann mal eine "Musterlösung" angeschaut, die so aussieht:
Da der Graph punktsymmetrisch ist gilt für die Strecke zwischen Hoch- und Tiefpunkt:
b = 2*l
mit l² = (√a)² + (2/√a)²
=> l = √(a+4/a)
A(a) = b²
A(a) = (2√(a+4/a))²
A(a) = 4a+16/a
A'(a) = 4 - 16/a²
A''(a) = 32/a³
notw. Bedingung: A'(a) = 0
4 - 16/a² = 0
a = 2 v a = -2 (für eine Strecke nicht definiert)
hinreichende Bed: A'(a) = 0 ∧ A''(a) ≠ 0
A''(2) = 32 / 8 = 4 > 0
-> Minimum bei a = 2
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Im Prinzip kann ich das ja auch nachvollziehen..mein Problem aber: Wie kommt man auf den allerersten Schritt??Also wieso gilt, dass b=2*l ist.. ? Und was hat das mit der Punktsymmetrie zu tun??
Würde mich über jede Hilfe freuen!
LG
Informacao
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:46 Mi 09.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Da die Funktion Punktsymmetrisch zum Ursprung ist, geht auch die Verbindungslinie, du hast diese mit b benannt durch diesen, mehr noch, der Ursprung teilt b in zwei gleich lange Teilstrecken der Länge l.
Und jetzt kannst du mit Hilfe des Satzes von Pythagoras diese Strecke l berechnen, mit [mm] l²=x_{e}²+f(x_{e})², [/mm] wobe [mm] x_{e} [/mm] die hier gegebene Koordinate des Extrempunktes ist, also [mm] \wurzel{a}
[/mm]
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:53 Mi 09.01.2008 | | Autor: | Informacao |
Danke für die gute Erklärung! Jetzt versuche ich es mal!
LG
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>
> Und jetzt kannst du mit Hilfe des Satzes von Pythagoras
> diese Strecke l berechnen, mit [mm]l²=x_{e}²+f(x_{e})²,[/mm] wobe
> [mm]x_{e}[/mm] die hier gegebene Koordinate des Extrempunktes ist,
> also [mm]\wurzel{a}[/mm]
Hi,
habe doch nochmal eine Frage.. wie kommt man dann denn auf den Pythagoras?
LG
Informacao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:08 Do 10.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Zieh mal die Verbindungslinie vom Extrempunkt zur x-Achse, und gehe von dort dann zum Ursprung entlang der x-Achse.
Dann hast du ein rechtwinkliges Dreieck
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:16 Do 10.01.2008 | | Autor: | Informacao |
Stimmt. Danke :)
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