Extremwertaufgabe? < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:11 Di 18.11.2003 | | Autor: | ministel |
Hm, ich steh grad vor ner Aufgabe, bei der ich nicht so richtig weiterkomme.
Ich habe als Voraussetzungen:
Sei [mm](\Omega , \mathcal{P}(\Omega ), P)[/mm] ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum.
Seien A, B, C aus [mm]\Omega[/mm] paarweise stochastisch unabhängig mit P(A) = P(B) = P(C) = p und [mm]P(A \cap B \cap C) = 0.[/mm]
Für welches p wird [mm]P(A \cup B \cup C)[/mm] maximal?
Wie gehe ich das denn an, dass ich erkenne, wie p gewählt sein muss? Ich hab da so ein bischen rumgerechnet mit den Voraussetzungen, aber irgendwie dreh ich mich da im Kreis.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:36 Di 18.11.2003 | | Autor: | Stefan |
Liebe Ministel,
es gilt:
[mm] P (A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A\cap B) - P(A\cap C) - P(B\cap C) + P(A\cap B \cap C)[/mm]
[mm] = P(A) + P(B) + P(C) - P(A\cap B) - P(A\cap C) - P(B\cap C) [/mm] (da [mm]P(A\cap B\cap C)=0[/mm] nach Voraussetzung)
[mm] = P(A) + P(B) + P(C) - P(A) \cdot P(B) - P(A) \cdot P(C) - P(B) \cdot P(C) [/mm] (da A, B, C paarweise stochastisch unabhängig sind)
[mm] = 3p - 3p^2[/mm]
[mm] = -3\cdot\left(p-\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}.[/mm]
Dies ist die Scheitelpunktform einer nach unten geöffneten Parabel mit Scheitelpunkt [mm]S\left(\frac{1}{2}/\frac{3}{4}\right)[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit ist also maximal für [mm]p=\frac{1}{2}[/mm] und beträgt dann [mm]P(A\cup B \cup C)=\frac{3}{4}[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:03 Di 18.11.2003 | | Autor: | ministel |
Verdammt, den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen. :)
Dank dir.
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