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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:56 Mo 27.06.2005 | | Autor: | komul |
Hallo zusammen,
ich habe in einer alten Klausur folgende Aufgabe gefunden, die ich zu lösen versuche:
Gegeben sei eine Funktion f(x,y) := [mm] (x²+y²)e^{y-x}.
[/mm]
Bestimmen sie alle relativen Extremalpunkte und Sattelpunkte von f.
Also zuerst habe ich nach x und y abgeleitet:
f´(x) = [mm] e^{y-x} [/mm] ( 2x-x²-y²)
f´´(x) = [mm] e^{y-x} [/mm] ( 2-4x-x²+y²)
f´(y) = [mm] e^{y-x} [/mm] (2y+x²+y²)
f´´ (y) = [mm] e^{y-x} [/mm] (2+x²+4y+y²)
So, jetzt müsste ich ja eigentlich die Nullstellen von f´(x) und f´(y) bestimmen und genau da liegt mein Problem...
Es wäre nett wenn mir jemand einen Tipp geben könnte wie ich hier weiter vorzugehen habe.
Danke schonmal im Voraus.
Christian
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> Gegeben sei eine Funktion f(x,y) := [mm](x²+y²)e^{y-x}.[/mm]
> Bestimmen sie alle relativen Extremalpunkte und
> Sattelpunkte von f.
>
> Also zuerst habe ich nach x und y abgeleitet:
>
> f´(x) = [mm]e^{y-x}[/mm] ( 2x-x²-y²)
> f´(y) = [mm]e^{y-x}[/mm] (2y+x²+y²)
Du hast es richtig gemacht, aber falsch aufgeschrieben. Du hast die partiellen Ableitungen
[mm] \bruch{ \partial f}{ \partial x}(x,y)=[/mm] [mm]e^{y-x}[/mm] ( 2x-x²-y²) und
[mm] \bruch{ \partial f}{ \partial y}(x,y)=[/mm] [mm]e^{y-x}[/mm] (2y+x²+y²).
> So, jetzt müsste ich ja eigentlich die Nullstellen
Genau.
Weil [mm] e^{y-x} [/mm] immer >0, muß
( 2x-x²-y²)=0 und (2y+x²+y²)=0 gelten.
Durch Addition erhält man 2x+2y=0, also x=-y.
Natürlich muß die erste Gleichung weiterhin gelten, wir setzen ein und bekommen [mm] 0=2x-x^{2}-2(-x)^{2}=2x-2x^{2}=2x(1-x)
[/mm]
Diese Gleichung ist erfüllt für x=0 oder x=1.
Extrema oder Sattelpunkte können also vorliegen bei (0,0) oder (1,-1).
Die Idee mit der zweiten Ableitung war nicht so schlecht, nur - Du hast es hier mit einer Funktion zweier Veränderlicher zu tun. Da mußt Du die Hessematrix an den fraglichen Stellen anschauen, ob sie positiv oder negativ definit ist, oder indefinit oder nichts von allem.
Vielleicht guckst Du erst in ein schlaues Buch, bevor ich hier eins schreibe?
(Meins wäre vermutlich schlechter...)
Möglicherweise kommst Du so ja schon weiter.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Mo 27.06.2005 | | Autor: | komul |
Danke, werd ich machen!
Auf das addieren wäre ich nie gekommen...
Das $ x=-y $ ist mir dann klar. Wenn ich das in $ 2x-x²-y² $ einsetze habe ich dann aber $ 2x-x²+x²=2x $ statt wie du $ [mm] 0=2x-x^{2}-2(-x)^{2}=2x-2x^{2}=2x(1-x) [/mm] $ raus...
Könntest du mir vielleicht erklären was du da gemacht hast?! Das wär super!
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Hallo komul !
> Das [mm]x=-y[/mm] ist mir dann klar. Wenn ich das in [mm]2x-x²-y²[/mm]
> einsetze habe ich dann aber [mm]2x-x²+x²=2x[/mm] statt wie du
> [mm]0=2x-x^{2}-2(-x)^{2}=2x-2x^{2}=2x(1-x)[/mm] raus...
Du hast hier die Antwort ja bereits selber hingeschrieben ...
Aus $x \ = \ -y$ wird ja auch $y \ = \ -x$, und das wird nun eingesetzt.
Dabei mußt du aber berücksichtigen, daß sich das Quadrat auch wirklich auf [mm] $\red{-}x$, [/mm] also auch auf das Vorzeichen bezieht.
Daher wird das [mm] $\red{-}x$ [/mm] in Klammern gesetzt und anschließend ausmultipliziert: [mm] $(\red{-}x)^2 [/mm] \ = \ [mm] (\red{-}x)*(\red{-}x) [/mm] \ = \ [mm] (-1)^2*x^2 [/mm] \ = \ [mm] +1*x^2 [/mm] \ = [mm] x^2$
[/mm]
Zwischendurch hast sich Angela etwas vertippt. Es muß heißen:
[mm] $2x-x^2-\red{1}*y^2 [/mm] \ = \ [mm] 2x-x^2-\red{1}*(-x)^2 [/mm] \ = \ [mm] 2x-x^2-x^2 [/mm] \ = \ [mm] 2x-2x^2$
[/mm]
Am Ende hat Angela dann aus diesem Term noch 2x ausgeklammert und erhält demnach: $... \ = \ 2x*(1-x)$
Nun klarer? ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") ??
Gruß vom
Roadrunner
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