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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:18 Mi 18.05.2005 | | Autor: | mmlug |
Hello Freunde,
Aufgabe :
Das Volumen einer zylindrische Saftdose beträgt [mm] 200cm^2 [/mm] . Die Deckflächen der Dose sind aus Pappe, während doe Mantelfläche aus Metall besteht. Wie muss man die Abmessungen wählen, damit bei dem vorgegebenen Volumen die Herstellungskosten minal werden? Der Preis des Matalls ist dopplet so hoch wie der Pappe.
Ich habe für diese Aufgabe leider noch Löusngen und IDEE.
BItte , könnt ihr die Lösungwege und IDee geben?
Ich freue mich sher auf Ihre baldige Antwort.
LB Gruß,
mmlug
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Hi, mmlug,
Der Preis der Dose hängt also von der Oberfläche ab.
Rechnen wir also diese "gestückelt" aus.
Zunächst Deckel + Boden:
[mm] O_{1} [/mm] = [mm] 2*r^{2}*\pi.
[/mm]
Dann der Mantel:
[mm] O_{2} [/mm] = [mm] 2*r*\pi*h.
[/mm]
Nun müssen wir einen Zusammenhang zwischen r und h finden, um eine der beiden Variablen durch die andere auszudrücken. Dazu benutzen wir die Tatsache, dass das Volumen konstant sein soll:
V = [mm] r^{2}*\pi*h [/mm] = 200 (übrigens: Tippfehler in der Angabe; muss natürlich [mm] cm^{3} [/mm] heißen!)
Am besten löst man nach h auf:
h = [mm] \bruch{200}{r^{2}*\pi}
[/mm]
Nun kommt der Material-Preis ins Spiel. Die Angabe ist vermutlich so zu interpretieren, dass der Preis des Metalls pro Flächeneinheit doppelt so hoch ist wie der der Pappe (was mir immer noch zu wenig erscheint; aber naja!).
Daher: (P steht hier für "Preis")
P(r) = [mm] 2*r^{2}*\pi [/mm] + 2* [mm] 2r*\pi*\bruch{200}{r^{2}*\pi}
[/mm]
Umgeformt:
P(r) = [mm] 2*r^{2}*\pi [/mm] + [mm] \bruch{800}{r} [/mm] (natürlich gilt: r > 0)
Weiter geht's so:
Ableitung P'(r) bilden;
diese Ableitung = 0 setzen (kommt r [mm] \approx [/mm] 4 raus),
begründen, dass ein absolutes Minimum vorliegt.
Fragen dazu?
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