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Hallo,
Ich hab so eine Aufgabe das erste mal bekommen und brache dringend Hilfe, hoffentlich kann einer mir helfen.
Gegeben ist die Funktionenschar
[mm] f_{k}:x \mapsto \bruch{1}{3} [/mm] x³ - 4k² [mm] \* [/mm] x + [mm] \bruch{16}{3} [/mm] k ; x [mm] \in \IR [/mm] und k [mm] \in [/mm] ]0;1[.
1.Bestimmen Sie die Koordinaten der Tiefund Hochpunkte sowie der Wendepunkte der den Funktionen zugeordneten Graphen Gk.
2.Es sei nun speziell k= 0,75.
a) Berechnen Sie die Funktionswerte an den Stellen 2; 1; 1 und 2. Zeichnen Sie den Graphen [mm] G_{0,75} [/mm] im Bereich -2 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2.
b) Zeigen Sie, dass für [mm] k_{1} \not= k_{2} [/mm] die Graphen [mm] Gk_{1} [/mm] und [mm] Gk_{2} [/mm] genau einen Punkt gemeinsam haben.
3.a) Berechnen Sie die Flächenmaßzahlen A(k) der Flächenstücke, die von Gk, den Koordinatenachsen und der Parallelen zur yAchse durch den jeweiligen Tiefpunkt von Gk begrenzt werden.
(Ergebnis: A(k) = [mm] \bruch{4}{3} [/mm] k²(8-5k²))
b) Für welche Werte von k ist A(k) maximal?
4. Auf welcher Kurve liegt die Menge aller Tiefpunkte der Graphen Gk?
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ich hab versucht die Aufgabe zu lösen aber ich kann jetzt nicht mehr weiter, kann einer die Aufgabe lösen .
[mm] \bruch{1}{3}x³- [/mm] 4k² [mm] x_{1}+ \bruch{16}{3}k_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}x³-4k²_{2} [/mm] x+ [mm] \bruch{16}{3}k_{2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] - 4k² x+ 4k²_{2}x + [mm] \bruch{16}{13} k_{1}- \bruch{16}{3}k k_{2}=0
[/mm]
[mm] \gdw 4x(-k²_{1}+k²_{2})+\bruch{16}{3}(k_{1}+k_{2})=0
[/mm]
[mm] \gdw x=-\bruch{16}{3}(k_{1}-k_{2}) [/mm] /[ [mm] 4(-k^{2}_{1}+k²_{2}) [/mm]
[mm] \gdw [/mm] x= [mm] -\bruch{4}{3} \* \bruch{k_{1}- k_{2}}{-k²_{1}+k²_{2}}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x= [mm] -\bruch{4}{3} \* \bruch{k_{1}- k_{2}}{-1(k²_{1}+k²_{2})} [/mm]
[mm] \gdw [/mm] x= [mm] \bruch{4}{3} \* \bruch{k_{1}- k_{2}}{k²_{1}+k²_{2}} [/mm] = [mm] \bruch{4}{3} \bruch{1}{k_{1}+k_{2}} [/mm]
[mm] \gdw (k_{1}+k_{2}) \* [/mm] x = [mm] \bruch{4}{3} \gdw (k_{1}+k_{2}) \* [/mm] x [mm] -\bruch{4}{3}=0 \bruch{4}{3} [/mm] Nullstelle einer Lineare Funktion
y=mx+q
keine Nullstelle : m = 0 [mm] \wedge [/mm] q [mm] \not= [/mm] 0
undend viele Nullstellen : m = 0 [mm] \wedge [/mm] q=0
genau eine Nullstelle : sonst.
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Hallo,
> Hallo,
> Ich hab so eine Aufgabe das erste mal bekommen und brache
> dringend Hilfe, hoffentlich kann einer mir helfen.
>
> Gegeben ist die Funktionenschar
> [mm]f_{k}:x \mapsto \bruch{1}{3}[/mm] x³ - 4k² [mm]\*[/mm] x +
> [mm]\bruch{16}{3}[/mm] k ; x [mm]\in \IR[/mm] und k [mm]\in[/mm] ]0;1[.
>
> 1.Bestimmen Sie die Koordinaten der Tiefund Hochpunkte
> sowie der Wendepunkte der den Funktionen zugeordneten
> Graphen Gk.
Dazu die Funktion ableiten und =0 setzen. Die Ableitungen sind:
[mm] f_{k}'(x)=x^{2}-4k^{2}
[/mm]
f''(x)=2x
f'''(x)=2.
>
> 2.Es sei nun speziell k= 0,75.
> a) Berechnen Sie die Funktionswerte an den Stellen 2;
> 1; 1 und
[mm] f_{0,75}(2) [/mm] und [mm] f_{0,75}(1) [/mm] und [mm] f_{0,75}(-2) [/mm] und [mm] f_{0,75}(-1) [/mm] berechnen, d.h. x einsetzen!
2. Zeichnen Sie den Graphen [mm]G_{0,75}[/mm]
> im Bereich -2 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 2.
einfach!
> b) Zeigen Sie, dass für [mm]k_{1} \not= k_{2}[/mm] die Graphen
> [mm]Gk_{1}[/mm] und [mm]Gk_{2}[/mm] genau einen Punkt gemeinsam haben.
> 3.a) Berechnen Sie die Flächenmaßzahlen A(k) der
> Flächenstücke, die von Gk, den Koordinatenachsen und der
> Parallelen zur yAchse durch den jeweiligen Tiefpunkt von
> Gk begrenzt werden.
> (Ergebnis: A(k) = [mm]\bruch{4}{3}[/mm] k²(8-5k²))
Stammfunktion in Abhängigkeit von k ausrechnen! Einfach. Es werden nur elementare Integrationsmethoden verwendet!
> b) Für welche Werte von k ist A(k) maximal?
Extremwertaufgabe!
> 4. Auf welcher Kurve liegt die Menge aller Tiefpunkte der
> Graphen Gk?
Ortskurve der Extrema bestimmen!
>
> ----------------------------------------------------------------------------
> ich hab versucht die Aufgabe zu lösen aber ich kann jetzt
> nicht mehr weiter, kann einer die Aufgabe lösen .
>
> [mm]\bruch{1}{3}x³-[/mm] 4k² [mm]x_{1}+ \bruch{16}{3}k_{1}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{3}x³-4k²_{2}[/mm] x+ [mm]\bruch{16}{3}k_{2}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] - 4k² x+ 4k²_{2}x + [mm]\bruch{16}{13} k_{1}- \bruch{16}{3}k k_{2}=0[/mm]
>
> [mm]\gdw 4x(-k²_{1}+k²_{2})+\bruch{16}{3}(k_{1}+k_{2})=0[/mm]
>
> [mm]\gdw x=-\bruch{16}{3}(k_{1}-k_{2})[/mm] /[ [mm]4(-k^{2}_{1}+k²_{2})[/mm]
>
>
> [mm]\gdw[/mm] x= [mm]-\bruch{4}{3} \* \bruch{k_{1}- k_{2}}{-k²_{1}+k²_{2}}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] x= [mm]-\bruch{4}{3} \* \bruch{k_{1}- k_{2}}{-1(k²_{1}+k²_{2})}[/mm]
>
>
> [mm]\gdw[/mm] x= [mm]\bruch{4}{3} \* \bruch{k_{1}- k_{2}}{k²_{1}+k²_{2}}[/mm]
> = [mm]\bruch{4}{3} \bruch{1}{k_{1}+k_{2}}[/mm]
>
> [mm]\gdw (k_{1}+k_{2}) \*[/mm] x = [mm]\bruch{4}{3} \gdw (k_{1}+k_{2}) \*[/mm]
> x [mm]-\bruch{4}{3}=0 \bruch{4}{3}[/mm] Nullstelle einer
> Lineare Funktion
>
> y=mx+q
> keine Nullstelle : m = 0 [mm]\wedge[/mm] q [mm]\not=[/mm] 0
> undend viele Nullstellen : m = 0 [mm]\wedge[/mm] q=0
> genau eine Nullstelle : sonst.
>
Also, dein Weg ist genau der Richtige. Beim Ausklammern von -1 hast du dann bei [mm] k_{2} [/mm] ein falsches Vorzeichen. Weiter kannst du mit 3. bin. Formel im Zähler umformen und dann einmal [mm] (k_{1}-k_{2}) [/mm] kürzen. Dein x hast du ja nun schon fast. Dann einsetzen und einen zugehörigen Funktionswert ausrechnen und damit hast du einen Punkt gefunden, den beide Kurven geminsam haben!
Viele Grüße
Daniel
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