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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:18 Mo 20.12.2010 | | Autor: | e_v_a_ |
| Aufgabe | | Welches gleichschenkelige Dreieck vom Umfang U=2 ergibt b ei Drehung um seine Symmetrieachse einen Kegel von maximalen Volumen? |
Hallo,
Ich habe diese Aufgabe so versucht zu lösen, komme aber auf ein komplett falsches Ergebnis:
U=2a+b=2s
V=(r²*pi*h)/3
un jetzt das Problem: ich weiß nicht welche Variable ich durch welche ersetzen soll, damit ich V dann ableiten kann und auf den Extremwert komme ...
Lösung sollte Grundlinienlänge=4s/5 und Höhe=s/5*wurzel5 sein
Würde mich sehr über eure Hilfe freuen!!
Danke schon im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo e_v_a und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Welches gleichschenkelige Dreieck vom Umfang U=2 ergibt b
> ei Drehung um seine Symmetrieachse einen Kegel von
> maximalen m Volumen?
Aua!
> Hallo,
> Ich habe diese Aufgabe so versucht zu lösen, komme aber
> auf ein komplett falsches Ergebnis:
>
> U=2a+b=2s
Wieso 2s?
Es ist doch [mm]U=2[/mm], also [mm]2a+b=2[/mm]
>
> V=(r²*pi*h)/3
>
> un jetzt das Problem: ich weiß nicht welche Variable ich
> durch welche ersetzen soll, damit ich V dann ableiten kann
> und auf den Extremwert komme ...
>
> Lösung sollte Grundlinienlänge=4s/5 und Höhe=s/5*wurzel5
> sein
>
> Würde mich sehr über eure Hilfe freuen!!
> Danke schon im Voraus
Mache eine Skizze!
Dann siehst du, dass der Radius des entstehenden Kegels genau die Hälfte der Länge der Grundseite, also [mm]\frac{b}{2}[/mm] , ist.
Bestimme weiter [mm]h[/mm] (Pythagoras) und drücke [mm]a[/mm] durch einen Ausdruck in [mm]b[/mm] aus (aus der Umfangsformel)
Dann hat deine Volumenformel nur noch eine Unbekannte [mm]b[/mm], also [mm]V(b)=\ldots[/mm]
Davon dann das Max. bestimmen ....
Falls oben doch ein Parameter $s$ beim Umfang steht, schleppe ihn als Parameter mit ...
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Mo 20.12.2010 | | Autor: | e_v_a_ |
Vielen Dank für die schnelle Antwort! :)
Leider komme ich damit noch immer nicht auf die Lösung ...
Ich habe folgendermaßen gerechnet:
Das s habe ich vorhin vergessen in die Angabe zu schreiben, also ich korrigiere U=2s
[mm] V=r²\pih
[/mm]
U=2a+b=2s
--> a=s-b/2
h=a-b/2
h=(s-b/2)-b/2
dann habe ich die Variablen in der Volumsformel ersetzt:
[mm] V=(b/2)²*\pi*((s-b/2)-(b/2)
[/mm]
[mm] V'(b)=2b/4*\pi-2b/4*\pi*1/2-2b/4*\pi*1/2
[/mm]
wenn ich V'(b) dann Null setze erhalte ich aber s=0, was irgendwie nicht möglich ist, denke ich...
Habe ich mich nur verrechnet (habs 3 mal versucht und komme aufs selbe) oder unterliegt das einem Denkfehler?
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Hallo nochmal,
> Vielen Dank für die schnelle Antwort! :)
>
> Leider komme ich damit noch immer nicht auf die Lösung
> ...
> Ich habe folgendermaßen gerechnet:
> Das s habe ich vorhin vergessen in die Angabe zu
> schreiben, also ich korrigiere U=2s
>
> [mm]V=r²\pih[/mm]
>
> U=2a+b=2s
> --> a=s-b/2
Ok.
>
> h=a-b/2 ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Die Höhe berechnest du doch mit Pythagoras ...
[mm]h^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2=a^2[/mm], also [mm]h=\sqrt{\left(s-\frac{b}{2}\right)^2-b^2}[/mm]
> h=(s-b/2)-b/2
Es ist [mm]\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}[/mm]
Weiter habe ich nicht nachgeschaut ..
>
> dann habe ich die Variablen in der Volumsformel ersetzt:
> [mm]V=(b/2)²*\pi*((s-b/2)-(b/2)[/mm]
> [mm]V'(b)=2b/4*\pi-2b/4*\pi*1/2-2b/4*\pi*1/2[/mm]
> wenn ich V'(b) dann Null setze erhalte ich aber s=0, was
> irgendwie nicht möglich ist, denke ich...
>
> Habe ich mich nur verrechnet (habs 3 mal versucht und komme
> aufs selbe) oder unterliegt das einem Denkfehler?
>
Gruß
schachuzipus
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