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| Aufgabe | (Klausuraufgabe vom letzten Jahrgang)
Gegeben sei die Funktion f(x) = ln x - a/ln x,
wobei a eine reelle Konstante ist.
a) Berechnen Sie für f(x) alle lokalen Extremstellen
b) deren Art
c) und die zugehörigen Funktionswerte in Abhängigkeit von a.
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Also habe ich erstmal um die unstetigkeitsstellen zu bestimmen die Fkt. erstmal abgelitten und null gesetzt. Raus kam folgendes (laut meinem Mathe-Programm scheint das erstmal zu stimmen):
f(x)' = [mm] \bruch{1}{x}- \bruch{a}{x (ln x)²}
[/mm]
So jetzt fängt der Spaß an. Die Funktion sieht nicht so aus ab ob man die einfach nach x umstellen könnte, oder?
Da kam ich auf die Idee das es vielleicht nur geht wenn die Konstante a null ist weil ja dann der Teil hinten wegfällt aber 1/x null zu setzen ist noch aussichtsloser.
Hab ich irgendwas übersehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:44 Sa 19.01.2008 | | Autor: | zahllos |
Zunächst mal mußt Du bei allem was Du berechnest auf den Definitionsbereich der Funktion achten. der ln ist nur für x [mm] \ge [/mm] 0 definiert und bei ln1 = 0 also schreibe erst mal den Definitionsbereich hin.
Die Ableitung ist f'(x) = [mm] \frac{1}{x}+\frac{a}{x(lnx)^2}, [/mm] da stimmt ein Vorzeichen nicht!
Du mußt die Ableitung nicht nach x auflösen, sondern deren Nullstellen finden. Wenn Du beide Brüche auf den Hauptnenner bringst, erhälst Du:
f'(x) = [mm] \frac{(lnx)^2+a}{x(lnx)^2}
[/mm]
Für die Nullstellen ist nur der Zähler entscheidend, d.h. Du mußt die Gleichung: [mm] (lnx)^2 [/mm] = -a lösen. Die hat nur für a [mm] \le [/mm] 0 Lösungen, man erhält:
[mm] \left| lnx \right| [/mm] = [mm] \wurzel{-a} [/mm] ( -a ist jetzt positiv oder 0 !)
Und schließlich [mm] x_1 [/mm] = [mm] e^{\wurzel{-a}} [/mm] und: [mm] x_2= e^{-\wurzel{-a}} [/mm] = [mm] \frac{1}{x_1}
[/mm]
Dabei muß [mm] a\not= [/mm] 0 sein, sonst triift [mm] x_1 [/mm] oder [mm] x_2 [/mm] auf eine Definitionslücke!
Es gibt also nur für a<0 Extrema.
Damit wäre a) erledigt, c) schaffst Du durch Einsetzen von [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] in die Funktion, bleibt noch b)
Dann kannst Du normal vorgehen und die zweite Ableitung berechnnen, aber die ist vermutlich etwas schwierig.
Du kannst aber auch das Steigungsverhalten der Funktion anschauen:
Für x [mm] \to [/mm] 0 geht f(x) [mm] \to -\infty [/mm] und für x [mm] \to [/mm] 1 (mit x < 1 ) geht f(x) [mm] \to -\infty,
[/mm]
also muss bei der kleineren der beiden Zahlen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] ein Maximum vorliegen.
Für x [mm] \to [/mm] 1 (mit x > 1) geht f(x) [mm] \to \infty [/mm] und für x [mm] \to \infty [/mm] geht f(x) [mm] \to \infty, [/mm] also muß das andere Extremum ein Minimum sein.
(Die Grenzwerte erkennst, Du wemm Du z.B. Werte wie 0,01, 0,99 1,01 oder 10 für x einsetzt. Das ist dann zwar kein Beweis, aber es zeigt Dir, wohin sich die Funktion entwickelt)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:35 So 20.01.2008 | | Autor: | codymanix |
hey vielen dank!
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