Extremstellen bestimmen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:03 Sa 16.04.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo,
Ich hab folgende Aufgabe:
Bestimmen Sie die lokalen Extremstellen der Funktion
[mm] g:\IR^{2}\to\IR \vektor{x \\ y}\to x^{3}y-3xy+y^{2}+1
[/mm]
Erstmal hab ich die partiellen Ableitungen 1.Ordnung bestimmt:
[mm] f_{x}(x,y)=3x^{2}y-3y
[/mm]
[mm] f_{y}(x,y)=x^{3}-3x+2y
[/mm]
Jetzt muß ich ja die Nullstellen bestimmen. Wenn man genau hinschaut erkennt man 5 kritische Punkte:
[mm] \vec{z_{1}}= \vektor{ 0 \\ 0 } \vec{z_{2}}= \vektor{ \wurzel{3} \\ 0 } \vec{z_{3}}= \vektor{ -\wurzel{3} \\ 0 } \vec{z_{4}}= \vektor{ 1 \\ 1 } \vec{z_{5}}= \vektor{ -1 \\ -1 }
[/mm]
Diese Punkte hab ich wie gesagt , nur durch raten ermittelt. Jetzt meine Frage! Gibt es hier nicht irgendeine Formel zur Berechnung der Nullstellen. Bei meinem Verfahren vergißt man ja schnell mal einen kritischen Punkt!
Vielen Dank für eure Antworten
Gruß Fabian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:31 Sa 16.04.2005 | | Autor: | Max |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Fabian,
ich kann schon einmal bestätigen, dass du alle kritischen Punkte gefunden hast - ich kenne aber auch keine Möglichkeit wie man alle Stellen errechnet. Man kann natürlich die Struktur der Gleichungen ausnutzen - und ich denke mal, dass du das ja auch getan hast - um die Lösungen zu erraten.
Wegen $3x^2y-3y=0 \gdw \left(3x^2-3)y=0 \gdw \left( y=0 \vee 3x^2-3=0\right) \gdw \left( y=0 \vee ( x=1 \vee x=-1)\right)$
hat man ja schon recht eindeutige Kriterien, mit denen man durch Fallunterscheidung in der zweiten Gleichung die zugehörigen Werte ermitteln kann.
Gruß Max
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