Extremstellen / GLS mit 2 Var. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:35 Di 15.06.2010 | | Autor: | mgoetze |
| Aufgabe | | Wo hat die Funktion [mm] $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$, f(x,y)=(1-x^2-y^2)e^{xy} [/mm] ihr Maximum? |
Klar ist schonmal, dass die Funktion nur innerhalb des Einheitskreises ist und somit dort ein Maximum haben muss. Um zu sehen, wo das ist, betrachte ich die partiellen Ableitungen. [mm] e^{xy} [/mm] ist immer positiv also bleibt
[mm] -2x+y-x^2y-y^3=0
[/mm]
[mm] -2y+x-x^3-xy^2=0
[/mm]
Nun habe ich natuerlich zuerst versucht dieses Gleichungssystem selber zu loesen und auch eine Loesung gefunden; dennoch will ich mal angeben welche Loesungen mein Computeralgebrasystem gefunden hat:
[mm] (\frac{-i}{\sqrt{2}},\frac{-i}{\sqrt{2}}), (\frac{i}{\sqrt{2}},\frac{i}{\sqrt{2}}), (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}},\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}), (\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{2}},\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}), [/mm] (0,0)
Gut, nun zu meiner Loesung: setze [mm] x=\alpha+\beta [/mm] und [mm] y=\alpha-\beta. [/mm] Ausmultiplizieren etc. liefert:
[mm] -2\alpha^3+2\alpha^2\beta-2\alpha\beta^2+2\beta^3-\alpha-3\beta=0
[/mm]
[mm] -2\alpha^3-2\alpha^2\beta-2\alpha\beta^2-2\beta^3-\alpha+3\beta=0
[/mm]
Nun betrachte ich einmal die Summe und einmal die Differenz dieser beiden Gleichungen:
[mm] -4\alpha^3-4\alpha\beta^2-2\alpha=0
[/mm]
[mm] 4\alpha^2\beta+4\beta^3-6\beta=0
[/mm]
Und finde die Loesungen (1a) [mm] \alpha=0 [/mm] (1b) [mm] 2\beta^2=-2\alpha^2-1 [/mm] sowie (2a) [mm] \beta=0 [/mm] (2b) [mm] 2\alpha^2=3-2\beta^2. [/mm] Nun betrachte ich die Kombinationen: (1b) und (2b) zusammen liefert ein Widerspruch, (1a) mit (2b) bzw. (1b) mit (2a) liefert komplexe Loesungen, und (1a) mit (2a) liefert (0,0).
In welchem Schritt sind wieso die anderen reellen Loesungen verschwunden?
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Hallo,
1a mit 2b liefert reelle Lösungen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:13 Di 15.06.2010 | | Autor: | mgoetze |
Hallo Angela,
danke, da hab ich ja den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen. :)
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