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Kann mir jemand erklären wie ich extremstellen einer Funktion 4.Grades berechne wenn ich keinen Plan davon hab wie die 1.Ableitung auszusehen weiss ich aber wie man das dann weiter rechnet kA
Liebe Grüsse Anika
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:33 Do 21.09.2006 | | Autor: | Fulla |
hi honeyanika!
also, eine funktion (eigentlich heißt es polynom) 4. grades sieht ganz allgemein so aus:
[mm]f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e[/mm]
a, b, c, d und e sind konstanten, von denen manche negativ oder auch null sein können.
nur a darf nicht null sein - sonst wäre es ja nur noch ein polynom 3. grades...
die erste ableitung ist
[mm]f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d[/mm]
denn es gilt: [mm]\left(x^n\right)'=n*x^{n-1}[/mm]
die einzelnen teile mit x werden einzeln abgeleitet und dann wieder addiert.
für die extremstellen muss die erste ableitung null sein: [mm]f'(x)=0[/mm]
da es aber keine lösungsformel für die nullstellen eines polynoms 3. grades gibt, muss man meist die erste nullstelle "erraten", d.h. verschiedene werte ausprobieren. danach wendet man die poynomdivision an und hat nur noch eine quadratische gleichung...
hier ist noch ein beispiel:
[mm]f(x)=x^4-8x^3+22x^2-24x+3[/mm]
1. ableitung:
[mm]f'(x)=4x^3-24x^2+44x-24[/mm]
gleich null setzen:
[mm]4x^3-24x^2+44x-24=0 \quad|:4[/mm]
[mm]x^3-6x^2+11x-6=0[/mm] x=1 ausprobieren
[mm]1-6+11-6=0[/mm] polynomdivision
[mm](x^3-6x^2+11x-6):(x-1)=x^2-5x+6[/mm] lösungsformel
[mm]x=\bruch{5\pm\wurzel{25-4*6}}{2}=\bruch{5\pm1}{2}\Rightarrow x_1=2\wedge x_2=3[/mm]
die funktion hat also extrema bei x=1, x=2 und x=3
hilft dir das weiter?
lieben gruß,
Fulla
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verstanden hab ich das also sind die nullstellen der 1.ableitung die extremstellen der Funktion, dann is das ja doch ganz einfach *lach* und ich war schon am verzweifeln da ich morgen darüber ne arbeit schreib
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