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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Mi 15.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Die Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] , f(x) = [mm] x^{4} [/mm] + [mm] 2x^{3} [/mm] - [mm] x^{2} [/mm] - 2x + 2 besitzt an einer Stelle [mm] x_{0} [/mm] >0 ein lokales Minimum mit Funktionswert: [mm] f(x_{0})=1. [/mm]
Berechnen Sie diese Stelle [mm] x_{0}. [/mm] |
Hallo,
Also zunächst mal muss ja [mm] x^{4} [/mm] + [mm] 2x^{3} [/mm] - [mm] x^{2} [/mm] - 2x + 2=1 sein und des weiteren muss f´(x)=0 sein, also [mm] 4x^{3} [/mm] + [mm] 6x^{2} [/mm] - 2x - 2=0. Nur wie mach ich an der Stelle weiter? Wenn ich ein x finden würde, bei dem die Ableitung 0 ist, könnte ich über Polynomdivision weitere x finden, aber ich vermute mal stark, dass ich das [mm] x_{0} [/mm] irgendwie mit dem euklidischen Algorithmus heraus bekomme, nur wie...?
Hoffe irgendjemand von euch kann mir einen Tipp geben.
Viele Grüße
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Hallo ms2008de,
> Die Funktion f: [mm]\IR \to \IR[/mm] , f(x) = [mm]x^{4}[/mm] + [mm]2x^{3}[/mm] - [mm]x^{2}[/mm]
> - 2x + 2 besitzt an einer Stelle [mm]x_{0}[/mm] >0 ein lokales
> Minimum mit Funktionswert: [mm]f(x_{0})=1.[/mm]
> Berechnen Sie diese Stelle [mm]x_{0}.[/mm]
> Hallo,
> Also zunächst mal muss ja [mm]x^{4}[/mm] + [mm]2x^{3}[/mm] - [mm]x^{2}[/mm] - 2x +
> 2=1 sein und des weiteren muss f´(x)=0 sein, also [mm]4x^{3}[/mm] +
> [mm]6x^{2}[/mm] - 2x - 2=0. Nur wie mach ich an der Stelle weiter?
> Wenn ich ein x finden würde, bei dem die Ableitung 0 ist,
> könnte ich über Polynomdivision weitere x finden, aber
> ich vermute mal stark, dass ich das [mm]x_{0}[/mm] irgendwie mit dem
> euklidischen Algorithmus heraus bekomme, nur wie...?
> Hoffe irgendjemand von euch kann mir einen Tipp geben.
Berechne zuerst die Nullstellen von
[mm]g\left(x\right):=f\left(x\right)-1[/mm]
Und entscheide dann, welche Lösung für das Minimum in Frage kommt.
>
> Viele Grüße
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Mi 15.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
Danke, aber wie berechne ich denn die Nullstellen von g(x), ich komm spontan auf keine?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:31 Mi 15.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo ms2008de!
Probiere zunächst die ganzzahligen Teiler des Absolutgliedes.
Anschließend dann eine  Polynomdivision durchführen.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:49 Mi 15.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
Problem ist: Ich finde keine ganzzahlige Lösung, wenn wir haben g(x)= [mm] x^{4}+ 2x^{3} [/mm] - [mm] x^{2} [/mm] -2x +1 und das soll 0 werden,
dann komm ich bei den ganzen Zahlen von -2 bis +1 jeweils auf den Funktionswert 1, bei andern ganzen Zahlen liegt der Wert bereits wieder deutlich oberhalb von 0.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Mi 15.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo ms2008de!
Vielleicht ist es hier doch besser, zunächst eine Nullstelle der 1. Ableitung zu erraten und anschließend mit der Ableitung die Polynomdivision durchzuführen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Mi 15.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
Sorry, aber auch hier bei der Ableitung erkenn ich keine ganzzahlige Lösung der Gleichung. Kann es nich sein, dass es irgendwie über den euklidischen Algorithmus geht? Ich dachte schon, man könnte vllt. nen ggT(g(x), f´(x)) berechnen, auch wenns ziemlich weit hergeholt klingt, und damit könnt man ja vllt. auf das x kommen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Mi 15.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo ms2008de!
Versuche es mal mit $x \ = \ -0{,}5$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Mi 15.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
Vielen Dank, bin somit aufs Ergebnis [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{\wurzel{5}}{2} [/mm] und habs nochmal so wie ich vorgeschlagen hab, über den euklidischen Algorithmus versucht einen ggT (f´(x),g(x)) zu berechnen, der dann [mm] -\bruch{5}{4}x^{2} -\bruch{5}{4}x +\bruch{5}{4} [/mm] war. Wenn man diesen ggT hieraus dann gleich 0 setzt, kommt man aufs selbe Ergebnis ohne Nullstllen rumzuraten. Aber wieso das das selbe ist, is mir noch unklar...?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Mi 15.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn f und g dieselbe Nst hat muss doch auch ggT von (f,g) diese Nullstele haben.
denn [mm] f(x_0)=A(x_0)*ggt(x_0)=0 [/mm] dasselbe mit g(x)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:41 Mi 15.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
dankeschön, habs verstanden
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