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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 Mo 02.10.2006 | | Autor: | MonaMoe |
| Aufgabe | Berechne die Extrempunkte und entscheide ob Hochpunkt oder Tiefpunkt:
a)f(x)= [mm] \bruch{1}{8}x^{3}-\bruch{3}{4}x
[/mm]
b)f(x)= [mm] \bruch{1}{16}x^{4}-\bruch{3}{2}x^{2}+5 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
das sind zwei Aufgaben von meinen Hausaufgaben.Ich hab sie gerechnet, doch die Ergebnisse kommen mir komisch vor. Vielleicht kann mir jemand sagen ob ich die richtigen Lösungen hab:
Also bei a) hab ich [mm] T(\wurzel{2}/\approx-0,65)
[/mm]
und [mm] H(-\wurzel{2}/\approx0,65)
[/mm]
und bei b) hab ich [mm] H(0/\bruch{55}{16}, T(\approx3,46/\approx31,28) [/mm] und T2 [mm] (\approx-3,46/\approx1077,10)
[/mm]
Ich bezweifle sehr, dass die richtig sind.
Ich hab die erste Ableitung gleich 0 gesetzt und nach x aufgelöst. Diese x-werte hab ich in die 2. Ableitung eingesetzt um zu sehen obs ein Tief-oder Hochpunkt ist und die x-werte hab ich auch in f(x) eingesetzt um y herauszufinden. Ist doch richtig oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 Mo 02.10.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
also bei Aufgabe a) liegst du richtig mit den Extremwerten. Auch die Vorgehensweise wie du gesagt hast ist richtig. Man leitet die Funktion ab, setzt die Ableitung gleich 0 und löst nach x auf. Dann hat man die Extremwerte. Um zu überprüfen ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, setzt man die gefundenen x-Werte in die 2. Ableitung ein und schaut wo die Ableitung <0 wird, dort ist ein Hochpunkt und wo sie >0 wird ist ein Tiefpunkt.
Deine x-Werte stimmen, aber die y-Werte stimmen nicht.
Man hat also:
[mm] f(\wurzel{2})=\bruch{1}{8}(\wurzel{2})^3-\bruch{3}{4}\wurzel{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{8}*2\wurzel{2}-\bruch{3}{4}\wurzel{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{4}\wurzel{2}-\bruch{3}{4}\wurzel{2}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{2}\wurzel{2} \approx [/mm] 0,71
Genauso macht man es mit [mm] -\wurzel{2}. [/mm] Dann bekommt man den selben y-Wert allerdings positiv.
Überprüfe deine Rechnung einfach nochmal, dann wirst du deinen Fehler schon finden.
Aufgabe b)
Bei dieser Aufgabe bildet man also auch die zwei Ableitungen und errechnet sich zuerst die Extremwerte. Dann überprüft man wieder. Deine y-Werte sind hier nicht richtig, die x-Werte stimmen alle und auch ob Hochpunkt oder Tiefpunkt stimmt alles. Allerdings sollte man die Extremwerte wenn sie schön darstellbar sind z.B. mit Wurzeln lieber so stehenlassen und sie zur Berechnung der y-Werte hernehmen als gerundete Werte.
Man hat also:
[mm] f(0)=\bruch{1}{16}(0)^4-\bruch{3}{2}(0)^2+5
[/mm]
=5. Somit liegt der Hochpunkt bei (0/5)
Weiter hat man:
[mm] f(2\wurzel{3})=\bruch{1}{16}(2\wurzel{3})^4-\bruch{3}{2}(2\wurzel{3})^2+5
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{16}*144-\bruch{3}{2}*12+5
[/mm]
=9-18+5
=-4
Genauso geht es mit [mm] -2\wurzel{3}, [/mm] da ja immer alles wieder positiv wird.
Die beiden Tiefpunkte liegen also bei [mm] x_{2}=(2\wurzel{3}/-4) [/mm] und [mm] x_{3}=(-2\wurzel{3}/-4)
[/mm]
Rechne doch auch hier einfach nochmal nach.
Gruß,
clwoe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Mo 02.10.2006 | | Autor: | MonaMoe |
Dankeschön!
Aber ich noch eine Frage: Ich hab das mit den Wurzeln noch nie so richtig verstanden. Du hast doch aus [mm] \wurzel{12}\Rightarrow 2\wurzel{3} [/mm] gemacht. Wie macht man das? Man zerlegt die 12 in die kleinsten Faktoren: [mm] \wurzel{2*2*3}, [/mm] oder? Und wie komme ich jetzt auf [mm] 2\wurzel{3}?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Mo 02.10.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
die Wurzel einer Zahl a ist doch die Zahl, die mit sich selbst multipliziert a ergibt.
Also: [mm] a^2=c \Rightarrow a=\pm\wurzel{c}
[/mm]
Also wird doch wenn man das ganze rückwärts betrachtet:
[mm] \wurzel{c}*\wurzel{c}=c, [/mm] denn a*a ist ja auch [mm] a^2.
[/mm]
Das heißt aber auch, das:
[mm] \wurzel{4}=\wurzel{2*2}=\wurzel{2}*\wurzel{2}=2
[/mm]
Hier werden nur die Wurzelgesetze angewandt. Multiplikation unter einer Wurzel kann auch unter verschiedene Wurzeln geschrieben werden.
Somit wird aus [mm] \wurzel{12}=\wurzel{4*3}=\wurzel{4}*\wurzel{3}=2\wurzel{3}
[/mm]
Jetzt verstanden?
Gruß,
clwoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:10 Mo 02.10.2006 | | Autor: | MonaMoe |
Dankeschön Clowe, genau das hab ich gebraucht und verstanden!!!
MfG
Mona
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