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| Aufgabe | Bestimme die Extrema von
z= x+y unter der Nebenbedingung [mm] x^2+y^2=1 [/mm] |
Anwendung von Lagrange:
[mm] x+y+\lambda(x^2+y^2-1)
[/mm]
[mm] Fx=1+2\lambda*x=0
[/mm]
[mm] Fy=1+2\lambda*y=0
[/mm]
[mm] F\lambda=x^2+y^2-1=0
[/mm]
daraus folgt x=y
in [mm] F\lambda [/mm] eingesetzt kommt raus: [mm] x=y=+/-\wurzel{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Eingesetzt in z=x+y kommt raus:
[mm] z1=2\wurzel{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] z2=-2\wurzel{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Nun habe ich gedacht dass man mit Lagrange aber nur die stationären Punkte rausfinden kann, aber nicht ob sie Maxima oder Minima sind...
Trotzdem steht jetzt in der Lösung [mm] Z_{Max}=\wurzel{2} [/mm] und [mm] Z_{Min}=-\wurzel{2}
[/mm]
Wie sind die darauf gekommen?
[mm] z1=2\wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm] ist ja das selbe wie [mm] \bruch{1}{2}\wurzel{2}
[/mm]
[mm] z2=-2\wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm] ist das selbe wie [mm] -\bruch{1}{2}\wurzel{2}
[/mm]
Aber das [mm] Z_{Max}=\wurzel{2} [/mm] und [mm] Z_{Min}=-\wurzel{2} [/mm] sein soll versteh ich nicht.
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Hallo Esperanza,
> Bestimme die Extrema von
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> z= x+y unter der Nebenbedingung [mm]x^2+y^2=1[/mm]
> Anwendung von Lagrange:
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> [mm]x+y+\lambda(x^2+y^2-1)[/mm]
>
> [mm]Fx=1+2\lambda*x=0[/mm]
> [mm]Fy=1+2\lambda*y=0[/mm]
> [mm]F\lambda=x^2+y^2-1=0[/mm]
>
> daraus folgt x=y
>
> in [mm]F\lambda[/mm] eingesetzt kommt raus:
> [mm]x=y=+/-\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Eingesetzt in z=x+y kommt raus:
>
> [mm]z1=2\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm]
> [mm]z2=-2\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm]
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> Nun habe ich gedacht dass man mit Lagrange aber nur die
> stationären Punkte rausfinden kann, aber nicht ob sie
> Maxima oder Minima sind...
>
> Trotzdem steht jetzt in der Lösung [mm]Z_{Max}=\wurzel{2}[/mm] und
> [mm]Z_{Min}=-\wurzel{2}[/mm]
>
> Wie sind die darauf gekommen?
>
> [mm]z1=2\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm] ist ja das selbe wie
> [mm]\bruch{1}{2}\wurzel{2}[/mm]
[mm]z1=2\wurzel{\bruch{1}{2}}=\bruch{2}{\wurzel{2}}=\bruch{2}{\wurzel{2}}*\bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{2}}=\bruch{2*\wurzel{2}}{2}=\wurzel{2}[/mm]
> [mm]z2=-2\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm] ist das selbe wie
> [mm]-\bruch{1}{2}\wurzel{2}[/mm]
[mm]z2=-2\wurzel{\bruch{1}{2}}=-\bruch{2}{\wurzel{2}}=-\bruch{2}{\wurzel{2}}*\bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{2}}=-\bruch{2*\wurzel{2}}{2}=-\wurzel{2}[/mm]
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> Aber das [mm]Z_{Max}=\wurzel{2}[/mm] und [mm]Z_{Min}=-\wurzel{2}[/mm] sein
> soll versteh ich nicht.
Gruß
MathePower
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Ähm ja ok...jetzt weiß ich wie die das umgeformt haben...aber woher weiß ich jetzt welches das Min und welches das Max ist? Kann ja hier keine Hesse-Matrix anwenden oder?
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Hallo Esperanza,
> Ähm ja ok...jetzt weiß ich wie die das umgeformt
> haben...aber woher weiß ich jetzt welches das Min und
> welches das Max ist? Kann ja hier keine Hesse-Matrix
> anwenden oder?
Gute Frage. Entweder entscheidest Du das über die Funktionswerte,
die unter der Nebenbedingung auftreten, oder Du machst das über eine Formel.
Über die Art des Extremas von [mm]z=f\left(x,y\right)[/mm] unter der Nebenbedingung [mm]\phi\left(x,y\right)=0[/mm] gibt folgende Formel Auskunft:
[mm]\Delta=\bruch{\partial^{2} \left(f+\lambda \phi\right)}{\partial x^{2}} * \left[\bruch{\partial \phi}{\partial y}\right]^{2}-2\bruch{\partial^{2} \left(f+\lambda \phi\right)}{\partial x \partial y} * \bruch{\partial \phi}{\partial x}*\bruch{\partial \phi}{\partial y}+\bruch{\partial^{2} \left(f+\lambda \phi\right)}{\partial y^{2}} * \left[\bruch{\partial \phi}{\partial x}\right]^{2}[/mm]
Nun gilt: [mm] \Delta < 0 \Rightarrow [/mm] Maximum
[mm] \Delta > 0 \Rightarrow [/mm] Minimum
Gruß
MathePower
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> Ähm ja ok...jetzt weiß ich wie die das umgeformt
> haben...aber woher weiß ich jetzt welches das Min und
> welches das Max ist? Kann ja hier keine Hesse-Matrix
> anwenden oder?
Hallo,
Du betrachtest die Funktion z(x,y) ja über einem Kreis.
Die Funktion z ist stetig, der Kreis ist abgeschlossen und beschränkt, also kompakt.
Über solchen Mengen nehmen stetige Funktionen ihr Minimum und Maximum an. Es kann also gar nicht anders sein, als daß Du mit Deinen beiden Punkten die Stellen von Min und Max gefunden hast. was nun was ist, siehst Du beim Angucken der zugehörigen Funktionswerte: der größere ist das Max, der kleinere das Min.
Gruß v. Angela
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