Extrema unter NB < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 Mo 15.02.2016 | | Autor: | Canibus |
| Aufgabe | Extrema unter Nebenbedingungen
Untersuchen Sie die Funktion
Q(x,y) = [mm] 2x^{4}y [/mm] + [mm] \bruch{25x}{y} [/mm] + [mm] 13x^{2} [/mm] - [mm] \bruch{50}{y} [/mm] - 56x + 21 (x,y > 0)
unter der Nebenbedingung [mm] x^{3}y^{3} [/mm] = 125
auf Extremwerte (und -stellen). |
Bildung der Lagrange-Funktion:
[mm] L(x,y,\lambda) [/mm] := Q(x,y) + [mm] \lambda(x^{3}y^{3} [/mm] - 125)
Ableitungen
[mm] L_{x} [/mm] = [mm] 8x^{3}y [/mm] + [mm] \bruch{25}{y} [/mm] + 26x - 56 + [mm] 3\lambda x^{2}y^{3}
[/mm]
[mm] L_{y} [/mm] = [mm] 2x^{4} [/mm] - [mm] \bruch{25x}{y^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{50}{y^{2}} [/mm] + [mm] 3\lambda x^{3}y^{2}
[/mm]
[mm] L_{\lambda} [/mm] = [mm] x^{3}y^{3} [/mm] - 125
Notwendige Bedingungen
[mm] L'(x,y,\lambda) [/mm] = [mm] (L_{x}, L_{y}, L_{\lambda}) [/mm] = 0
[mm] L_{x} [/mm] = 0
[mm] \gdw \lambda [/mm] = [mm] \bruch{56}{3x^{2}y^{3}} [/mm] - [mm] \bruch{8x}{3y^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{25}{3x^{2}y^{4}} [/mm] - [mm] \bruch{26}{3xy^{3}}
[/mm]
[mm] L_{y} [/mm] = 0
[mm] \gdw \lambda [/mm] = [mm] \bruch{25}{3x^{2}y^{4}} [/mm] - [mm] \bruch{2x}{3y^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{50}{3x^{3}y^{4}}
[/mm]
[mm] \lambda(L_{x}) [/mm] = [mm] \lambda(L_{y})
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 56xy - [mm] 6x^{4}y^{2} [/mm] - 50x - [mm] 26x^{2}y [/mm] + 50 = 0
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Genau an dieser Stelle komme ich nicht weiter. Wie löse ich hier nach x bzw. y auf? Oder hätte ich einen anderen Ansatz wählen sollen?
Vielen Dank im Voraus schon einmal für eure Hilfe!
Mit besten Grüßen,
Canibus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:53 Mo 15.02.2016 | | Autor: | Jule2 |
Hi,
du hast doch noch eine dritte Gleichung die du noch nicht eingebracht hast nämlich:
[mm] L_{\lambda} =x^{3}y^{3}-125=0
[/mm]
Nun kannst du nach x oder y auflösen und einsetzen!!
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:29 Mo 15.02.2016 | | Autor: | Canibus |
Ach Gott, manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht...
Vielen Dank, Jule!
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