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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:15 Di 07.02.2012 | | Autor: | Nicky-01 |
| Aufgabe | Finden sie das Minimum folgender Funktion:
[mm] f(x,y)=\bruch [/mm] {x^3y+xy-190}{x-y}
unter den Nebenbedingungn
[mm] x^3+x^2-17x=-15 [/mm] und [mm] (x+2)^2=16 [/mm] |
bei der Aufgabe ist es doch am sinnvollsten mit der Lagrange-Methode zu rechnen oder?!
und das habe ich versucht ...
also so hab ich angefangen:
L(x,y) = [mm] \bruch{x^3y+xy-190}{x-y} [/mm] + [mm] \lambda_{1} (x^3+x^2-17x+15) [/mm] + [mm] \lambda_{2}((y+2)^2-16)
[/mm]
[mm] =\bruch{x^3y+xy-190}{x-y} [/mm] + [mm] \lambda_{1} (x^3+x^2-17x+15) [/mm] + [mm] \lambda_{2}(3x^2+2x-17)
[/mm]
dann die partiellen ableitungen:
[mm] \bruch{\delta L}{\delta x} [/mm] = [mm] \bruch{2x^3y-3x^2y^2-y^2+190}{(x-y)^2} [/mm] + [mm] \lambda_{1}(3x^2+2x-17)
[/mm]
[mm] \bruch {\delta L}{\delta y} [/mm] = [mm] \bruch{x^4+x^2-2x^3y-2xy+190}{(x-y)^2}+ \lambda_{2}(2y+4)
[/mm]
[mm] \bruch{\delta L}{\delta \lambda_{1}}= x^3+x^2-17x+15
[/mm]
[mm] \bruch{\delta L}{\delta \lambda_{2}}= y^2+4y+4
[/mm]
Gradient L [mm] (x,y,\lambda_{1},\lambda_{2}) [/mm] = (0,0,0,0)
I [mm] \bruch{2x^3y-3x^2y^2-y^2+190}{(x-y)^2} [/mm] + [mm] \lambda_{1}(3x^2+2x-17) [/mm] = 0
II [mm] \bruch{x^4+x^2-2x^3y-2xy+190}{(x-y)^2}+ \lambda_{2}(2y+4)= [/mm] 0
III [mm] x^3+x^2-17x+15 [/mm] = 0
IV [mm] y^2+4y+4 [/mm] = 0 -> [mm] y_{1,2}= [/mm] -2 [mm] \pm \wurzel{0} [/mm] -> keine Lösung ...
III durch ausprobieren x=1 und dann Polynom Division
[mm] (x^3+x^2-17x+15):(x-1)= x^2+2x-15 [/mm]
[mm] x^2+2x-15= [/mm] 0
[mm] x_{1,2}= [/mm] -1 [mm] \pm \wurzel{16}
[/mm]
[mm] x_{1}=3 x_{2}=-5 [/mm]
und ab da komme ich nicht weiter ....
gibt es vllt einen anderen weg?
oder ist das was ich gemacht habe überhaupt richtig?
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Hallo Nicky-01,
> Finden sie das Minimum folgender Funktion:
> [mm]f(x,y)=\bruch[/mm] {x^3y+xy-190}{x-y}
> unter den Nebenbedingungn
> [mm]x^3+x^2-17x=-15[/mm] und [mm](x+2)^2=16[/mm]
> bei der Aufgabe ist es doch am sinnvollsten mit der
> Lagrange-Methode zu rechnen oder?!
Ja.
> und das habe ich versucht ...
>
> also so hab ich angefangen:
> L(x,y) = [mm]\bruch{x^3y+xy-190}{x-y}[/mm] + [mm]\lambda_{1} (x^3+x^2-17x+15)[/mm]
> + [mm]\lambda_{2}((y+2)^2-16)[/mm]
> [mm]=\bruch{x^3y+xy-190}{x-y}[/mm] + [mm]\lambda_{1} (x^3+x^2-17x+15)[/mm] +
> [mm]\lambda_{2}(3x^2+2x-17)[/mm]
>
> dann die partiellen ableitungen:
> [mm]\bruch{\delta L}{\delta x}[/mm] =
> [mm]\bruch{2x^3y-3x^2y^2-y^2+190}{(x-y)^2}[/mm] +
> [mm]\lambda_{1}(3x^2+2x-17)[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\bruch {\delta L}{\delta y}[/mm] =
> [mm]\bruch{x^4+x^2-2x^3y-2xy+190}{(x-y)^2}+ \lambda_{2}(2y+4)[/mm]
>
Das musst Du nochmal nachrechnen.
> [mm]\bruch{\delta L}{\delta \lambda_{1}}= x^3+x^2-17x+15[/mm]
>
> [mm]\bruch{\delta L}{\delta \lambda_{2}}= y^2+4y+4[/mm]
>
Hier muss es doch lauten:
[mm]y^2+4y+4\red{-16}=0[/mm]
> Gradient L [mm](x,y,\lambda_{1},\lambda_{2})[/mm] = (0,0,0,0)
>
> I [mm]\bruch{2x^3y-3x^2y^2-y^2+190}{(x-y)^2}[/mm] +
> [mm]\lambda_{1}(3x^2+2x-17)[/mm] = 0
>
> II [mm]\bruch{x^4+x^2-2x^3y-2xy+190}{(x-y)^2}+ \lambda_{2}(2y+4)=[/mm]
> 0
>
> III [mm]x^3+x^2-17x+15[/mm] = 0
>
> IV [mm]y^2+4y+4[/mm] = 0 -> [mm]y_{1,2}=[/mm] -2 [mm]\pm \wurzel{0}[/mm] -> keine
> Lösung ...
>
> III durch ausprobieren x=1 und dann Polynom Division
> [mm](x^3+x^2-17x+15):(x-1)= x^2+2x-15[/mm]
>
> [mm]x^2+2x-15=[/mm] 0
> [mm]x_{1,2}=[/mm] -1 [mm]\pm \wurzel{16}[/mm]
> [mm]x_{1}=3 x_{2}=-5[/mm]
>
> und ab da komme ich nicht weiter ....
> gibt es vllt einen anderen weg?
> oder ist das was ich gemacht habe überhaupt richtig?
>
Siehe oben.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Di 07.02.2012 | | Autor: | Nicky-01 |
ahh ok, die -16 habe ich total übersehen ...
dann bekomme ich für [mm] y_{1}=2 [/mm] und [mm] y_{2}=-6 [/mm] raus ...
ach ja ok, dann
muss die [mm] \bruch{\delta L}{\delta y} [/mm] = [mm] \bruch{x^4+x^2-190}{(x-y)^2}+\lambda_{2}(2y+4) [/mm]
oder wieder ein fehler drin?
wie mache ich denn dann weiter?!
also ich muss ja x und y einsetzen damit ich [mm] \lambda_{1} [/mm] und [mm] \lambda_{2} [/mm] rauskriegen kann,
aber ist es denn dann egal welches x und y ich einsetze?!
denn ich hab ja jetzt [mm] x_{1}=1, x_{2}= [/mm] 3 und [mm] x_{3}=-5
[/mm]
und [mm] y_{1}=2 [/mm] und [mm] y_{2}=-6 [/mm] raus ...
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Hallo Nicky.-01,
> ahh ok, die -16 habe ich total übersehen ...
> dann bekomme ich für [mm]y_{1}=2[/mm] und [mm]y_{2}=-6[/mm] raus ...
>
> ach ja ok, dann
> muss die [mm]\bruch{\delta L}{\delta y}[/mm] =
> [mm]\bruch{x^4+x^2-190}{(x-y)^2}+\lambda_{2}(2y+4)[/mm]
> oder wieder ein fehler drin?
>
Nein, kein Fehler.
> wie mache ich denn dann weiter?!
> also ich muss ja x und y einsetzen damit ich [mm]\lambda_{1}[/mm]
> und [mm]\lambda_{2}[/mm] rauskriegen kann,
> aber ist es denn dann egal welches x und y ich einsetze?!
> denn ich hab ja jetzt [mm]x_{1}=1, x_{2}=[/mm] 3 und [mm]x_{3}=-5[/mm]
> und [mm]y_{1}=2[/mm] und [mm]y_{2}=-6[/mm] raus ...
>
Hier sind alle Paare [mm]\left(x_{i},y_{j}\right)[/mm] einzusetzen.
Gruss
MathePower
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