Extrema mit Nebenbedingungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen sie für die Funktion:
[mm] f(x,y)=y^4 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] − [mm] 2y^2 [/mm] − x
Die lokalen Extrema auf [mm] \mathbb{R}^2 [/mm]
Die globalen Extrema auf K={(x, y) [mm] \in \mathbb{R}^2 :x^2+y^4\leq [/mm] 20} |
[mm] f_x [/mm] = 2x - 1
[mm] f_y [/mm] = [mm] 4y^3 [/mm] - 4y
Notwendiges Kriterium
[mm] f_x [/mm] = 0
[mm] f_y [/mm] = 0
[mm] x=\frac{1}{2}
[/mm]
[mm] y_1=-1 \quad y_2=1 \quad y_3=0
[/mm]
Weitere benötigte Ableitungen:
[mm] f_{xx}=2 \quad f_{yy}=12y^2-4 \quad f_{xy}=f_{yx}=0
[/mm]
Damit vereinfacht sich die Hessematrix auf die Hauptdiagonale:
[mm] f_{xx}\cdot f_{yy} [/mm] = ?
Aus [mm] f_{xx}=2 [/mm] folgt, dass alle Extremwerte Minima sind bzw ein Sattelpunkt.
Mit der Hessematrix erhalte ich:
[mm] \Delta=2*12y^2-4=24y^2-8
[/mm]
Die x Werte spielen keine Rolle, oder hab ich mich vertan?
Ansonsten gilt
[mm] y_1=-1 \quad y_2=1 \quad y_3=0
[/mm]
[mm] \Delta_{1,2}=16 [/mm] > 0 [mm] \rightarrow [/mm] Minimum
[mm] \Delta_3=-8 [/mm] < 0 [mm] \rightarrow [/mm] Sattelpunkt
Somit befinden sich 2 Minimas bei
[mm] P_1(\frac{1}{2};-1) P_2(\frac{1}{2};1)
[/mm]
und ein Sattelpunkt bei [mm] P_3(\frac{1}{2};0)
[/mm]
Ich hoffe ich hab das richtig gemacht.
Allerdings scheitere ich jetzt an der Nebenbedinung für den zweiten Teil.
Wir haben in der Vorlesung den Lagrangschen Multiplikator behandelt, allerdings nur für Gleichungen, nicht für Ungleichungen?
Wie gehe ich da nun vor? Sofern das oben richtig ist ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:49 Mo 07.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie kommst du drauf aus [mm] f_{xx} [/mm] auf nur min und Sattel zu schliessen? Wie soll man von einem min zum anderen laufen, ohne über nen max zu kommen?
zu 2
entweder die fkt hat schon im Inneren von K globale Min oder max, oder sie nimmt die auf dem Rand des Gebietes also bei = an.
Gruss leduart
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Ja stimmt, das mit den 2 Minima gibt keinen Sinn... allerdings hieß es, das vorzeichen von [mm] f_{xx} [/mm] gibt die art des extrem wertes an.
Wie bestimme ich ansonsten ob es ein Hoch oder Tiefpkt ist?
Also ich habe es so gemacht:
Determinante der Matrix > 0 -> Extrema
Determinante < 0 -> Sattelpunkt.
bei negativen [mm] f_{xx} [/mm] ->Maximum
bei postivem [mm] f_{xx} [/mm] -> Minimum
und da [mm] f_{xx} [/mm] ja ne Konstante ist, bzw nicht von der Varibalen abhängt waren es zwei Minimas ... mir ist jetzt zwar schon klar, dass das nicht sein kann aber wie ich es sonst machen soll ist mir etwas fremd.
Mit deiner 2ten Antwort bin ich leider überfordert, kannst du vielleicht etwas genauer sein bzw idioten sicherer?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:59 Di 08.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Hessematrix muss pos oder neg definit sein für min oder max. das mit [mm] f_{xx} [/mm] wie kommst du darauf. lies dein skript odr Buch nach!
Gruss leduart
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Ja das mit dem positiv oder negativ definit hab ich mittlerweile auch gefunden. Allerdings steht in meinem Lehrbuch das von wegen [mm] f_{xx} [/mm] was mich jetzt etwas schockiert O.o.
Aber selbst wenn ich Bestimme ob die Matrix positiv oder negativ definit ist, bekomme ich doch trotzdem für beide Werte noch das selbe Ergebnis.
Nach dem Hurwitz-Kriterium ist eine reele symetrische Matrix genau dann positiv definit wenn alle Hauptminatoren Positiv sind.
Meine Hesse-Matrix sieht ja allgemein so aus:
[mm] \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 24y^2-8 }
[/mm]
für [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2 [/mm] sieht sie ja genau gleich aus, da ich mein evtl negatives Vorzeichen ja ins Quadrat setze.
[mm] \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 16}
[/mm]
Auch wenn ich die Definitheit über Eigenwerte bestimmte, bekomme ich nur postive Eigenwerte. Also ebenfalls eine positiv definite Matrix.
Edit:
Für [mm] y_3 [/mm] = 0 bekomme ich die Eigenwerte -8 und 2 somit ist die Matrix ja indefinit und auch hier hab ich wie oben schon vermutet einen Sattelpunkt.
Schon mal lieben Danke für die Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:29 Di 08.06.2010 | | Autor: | chrisno |
Es muss kein lokales Maximum zwischen den beiden Minima liegen. Dieses Argument gilt im 1-D Fall, aber nicht bei mehr Dimensionen. Stell Dir zu Beispiel eine geneigte Ebene vor. Auf dieser bringst Du einen Bergrücken mit konstanter Höhe auf, der parallel zum Gradienten der Ebene verläuft. Nun drücke links und rechts vom Bergrücken eine Kuhle in die Ebene. So hast Du die beiden Minima, aber kein Maximum dazwischen. Bei Deiner Funktion ist es nicht der Bergrücken, sondern der Sattelpunkt, über den Du gehst. Berechne mal ein paar Funktionswerte. Auch die Extremwerte auf dem Rand helfen Dir bei der Veranschaulichung der Funktion.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:58 Mo 07.06.2010 | | Autor: | erlkoenig |
Ah doch okay, wie ich es auf dem Rand bestimme ist mir klar. Das würde ich jetzt mit dem Lagragschen Multiplikator machen. Nur im Inneren ist mir gerade etwas unklar. Prüfe ich da einfach meine lokalen Extremstellen ob sie die Ungleichung erfüllen?
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