Extrema e^3x*lnx < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Sa 15.01.2005 | | Autor: | Fry |
Hallo !
Ich habe die Funktion f(x)= e^(3x) * lnx , D= (0, [mm] \infty).
[/mm]
Ich soll nun beweisen, dass die Funktion zwei Extrema hat...
f´(x) = 3e^(3x)*lnx + e^(3x)*1/x
= e^(3x) [ 3lnx + 1/x ]
Die Nullstellen zu berechnen, schaffe ich nicht.
Gibt es noch eine andere Möglichkeit die Existenz der Extrema zu zeigen ?
Gruß
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:11 Sa 15.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Fry
> Hallo !
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> Ich habe die Funktion f(x)= e^(3x) * lnx , D= (0,
> [mm]\infty).
[/mm]
> Ich soll nun beweisen, dass die Funktion zwei Extrema
> hat...
>
> f´(x) = 3e^(3x)*lnx + e^(3x)*1/x
> = e^(3x) [ 3lnx + 1/x ]
>
> Die Nullstellen zu berechnen, schaffe ich nicht.
> Gibt es noch eine andere Möglichkeit die Existenz der
> Extrema zu zeigen ?
>
> Gruß
Ich würde mal in dieser Richtung etwas versuchen:
Du hast ja die Gleichung:
[mm] $e^{3x}(3\ln(x)+\bruch{1}{x})=0$
[/mm]
Weil [mm] $3^{3x}$ [/mm] sicher grösser als Null ist, darfst du dividieren:
[mm] $3\ln(x)+\bruch{1}{x}=0$
[/mm]
[mm] $3x\ln(x)+1=0$
[/mm]
[mm] $3x\ln(x)=-1$
[/mm]
[mm] $\ln(x^{3x})=-1$
[/mm]
[mm] $x^{3x}=\bruch{1}{e}$
[/mm]
Wenn du jetzt zeigen kannst, dass [mm] $x^{3x}$ [/mm] (für x>0) stetig ist, kannst du den Mittelwertsatz anwenden.
Weil ja [mm] $x^{3x}$
[/mm]
für x=0.1 etwa den Wert 0.5 ergibt,
für x=0.4 etwa den Wert 0.33 ergibt und
für x=1 den Wert 1 ergibt.
Mit $0.33 < [mm] \bruch{1}{e}< [/mm] 0.5$ folgt dann, dass zwischen x=0.1 und x=0.4 eine Nullstelle liegen muss, ebenfalls entsprechen eine Nullstelle zwischen 0.4 und 1.0.
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:16 Sa 15.01.2005 | | Autor: | Fry |
Hallo Paul !
Vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Die Idee mit dem Mittelwertsatz gefällt mir gut :)..
Danke nochmal !
Viele Grüße
Fry
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