Extrema berechnen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:30 So 14.06.2009 | | Autor: | Hanz |
Hi, habe folgende Aufgabe:
| Aufgabe | | Sei f(x,y)=sinx + siny + sin(x+y) mit 0<x, [mm] y<\bruch{\pi}{2} [/mm] gegeben. Berechne alle Extrema und gib die Art der Extrempunkte an. |
So, nun muss ja grad f(x,y)=0 gelten
=> grad f(x,y) = (cosx + cos(x+y), cosy + cos(x+y)) = 0
Damit erhalte ich zwei Gleichungen:
(1) cosx + cos(x+y)=0
(2) cosy + cos(x+y)=0
Aus (1)-(2) folg: cosx - cosy = 0 [mm] \gdw [/mm] x=y
So, nun steht in der Lösung: [mm] x=y=\bruch{\pi}{3}, [/mm] klingt ja auch einleuchtend, aber kann man darauf auch rechnerisch kommen oder muss man sowas wissen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
Die Äquivalenz nach der Subtraktion der beiden Gleichungen macht mir etwas Kopfschmerzen. Die stimmt zwar, aber nur, wenn man die Voraussetzung [mm]x,y \in \left( 0 \, , \frac{\pi}{2} \right)[/mm] beachtet. Ansonsten gäbe es durchaus noch mehr Möglichkeiten. Also sollte man zumindest auf diese Voraussetzung hinweisen.
Mit [mm]y=x[/mm] in (1) folgt:
[mm]\cos x + \cos (2x)[/mm] = 0
Entweder verwendest du jetzt [mm]\cos (2x) = 2 \cos^2 x - 1[/mm] und löst die quadratische Gleichung in [mm]u = \cos x[/mm] (nur eine der beiden Lösungen kommt hier für [mm]u[/mm] in Frage). Oder du überlegst dir, was aus
[mm]- \cos x = \cos(2x) \ \ \Leftrightarrow \ \ \cos( x + \pi) = \cos(2x)[/mm]
aus der Gleichheit der Cosinus-Werte folgt. Und hier ist es nun gerade nicht [mm]x + \pi = 2x[/mm]. Sondern?
|
|
|
|
