Extrema bei Parameteraufgabe < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Folge Funktion soll diskutiert werden :
[mm] f_{a}(x)=\frac{x}{a}*e^{ax} [/mm] |
Hallo Leute!
Ich habe gerade ein paar Probleme bei der Kurvendiskussion von dieser Aufgabe.
Als Ableitungen habe ich folgendes rausbekommen:
[mm] f_{a}'(x)= e^{ax} \cdot (x+\frac{1}{a}) [/mm]
[mm] f_{a}''(x)= e^{ax} \cdot [/mm] (1+ax)
Mein Problem ist folgendes.
Als Extremstelle bekomme ich [mm] x=-\frac{1}{a} [/mm] heraus, wenn ich das aber in die 2.Ableitung einsetze - also die hinreichende Bedingung durchführe- bekomme ich 0 raus, ergo es ist keine Extremstelle.
Im Prinzip wäre das ja nicht dramatisch, nur muss man in einer weiteren Teilaufgabe die Ortskurve der Extremstellen bilden.
Demnach muss es ja auch welche geben.
Was habe ich falsch gemacht?
Grüße,
Eisquatsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:59 Sa 17.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Eisquatsch!
Ich habe eine etwas andere 2. Ableitung heraus mit:
[mm] $$f_a''(x) [/mm] \ = \ [mm] e^{a*x}*(\red{2}+a*x)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Danke für die Antwort Loddar :D !
Ich wusste das da irgendwas falsch war ...
Aber wie bist du auf die 2.Ableitung gekommen?
Ich erläuter mal, wie ich auf meine Ableitung gekommen bin :
Ich habe die Kettenregel verwendet
u(v) = [mm] v*e^{ax} u'(v)=a*e^{ax}*v
[/mm]
v(x)= [mm] x+\frac{1}{a} [/mm] v'(x)=1
und dann eben v'(x) * u'(v)
Ich bin mir sicher, ich habe die Kettenregel irgendwie falsch angewendet. Vielleicht substituiert?
Ich erkenne aber zu so später Stunde keinen Fehler ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:31 Sa 17.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Eisquatsch!
[mm] $$f_a''(x) [/mm] \ = \ [mm] e^{a*x}*a*\left(x+\frac{1}{a}\right)+e^{a*x}*1 [/mm] \ = \ [mm] e^{a*x}*\left(a*x+1\right)+e^{a*x}*1 [/mm] \ = \ [mm] e^{a*x}*(a*x+1+1) [/mm] \ = \ [mm] e^{a*x}*(a*x+2)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Aaah ok i see :D
Das ist natürlich plausibel.
Aber Gegenfrage : Warum gibt die Kettenregel hier kein richtiges Ergebnis raus ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:11 Sa 17.11.2007 | | Autor: | Maggons |
Huhu Eisquatsch
Hier muss zwingend die Produktregel angewendet werden, da "eine Multiplikation" als Term vorliegt.
Die Kettenregel wird hier zwar ebenfalls angewendet, jedoch nur bei der Ableitung der e- Funktion.
So wie ich das nun spontan sehe sind zwar deine "einzelnen Ableitungen" sprich u' und v' korrekt, jedoch hast du dich wohl in der anwendung der Produktregel selbst ein wenig vertan.
Sie lautet nicht einfach nur v' * u' sondern u*v'+u'*v!
Das nochmal "detailliert nachzulesen" hier:
https://matheraum.de/wissen/Produktregel
Hoffe ich hab damit dein Problem gefunden :/
Liebe Grüße,
Marco
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Danke für die Antwort erstmal :D
Das man die Produktregel anwenden muss verstehe ich jetzt, aber wie kann man sich erklären das die Kettenregel nicht anwendbar ist, bzw. man mit der Kettenregel ein "falsches" Ergebnis rausbekomme?
Ich dachte die Kettenregel ist bei "verschachtelten" Funktionen anwender, also sozusagen eine Funktion in einer Funktion.
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Hallo Eisquatsch!
Wie Maggons bereits erwähnte musst du hier die Produktregel anwenden...
Du hast ja die Funktion [mm] f_{a}(x) [/mm] = [mm] \bruch{x}{a} \* e^{ax} [/mm]
Das ist doch offenbar ein Produkt also Produktregel....natürlich musst du dein [mm] e^{ax} [/mm] mit hilfe der Kettenregel ableiten aber nicht die komplette funktion.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:08 So 18.11.2007 | | Autor: | Maggons |
Huhu
Vielleicht ist es unnötig, dass ich nochmal schreib aber vllt auch nicht :p
Du sagst ja selbst, dass die Kettenregel bei einer "verschachtelten Funktion", also z.B. f(g(x)), angewendet wird.
Bei der Kettenregel kommt hier also schlichtweg ein falsches Ergebnis raus, weil hier keine verschachtelte Funktion (außer der e- Funktion) vorliegt.
Man kann keine Regel pauschal anwenden, sondern muss immer, je nach Art der Funktion die Produkt-, Quotienten-, Kettenregel etc. anwenden.
Hoffe das ist dir so deutlich :)
Ciao Lg
Marco
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