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Extrema bei Baumstumpf Aufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:09 Di 08.06.2010
Autor: Zack24

Aufgabe
Aus einem kreisrunden Baumstamm mit einem Durchmesser von d=60 cm
soll ein Balken mit rechteckigem Querschnitt gesägt werden (vgl. Abb).
Wie sind die Maße des Balkens zu wählen, damit die Tragfähigkeit des Balkens maximal ist?
Hinweis: Die Tragfähigkeit T wird berechnet nach T=k*b*h² wobei k eine Materialkonstante, b die Breite und h die Höhe des Balkens ist. Für den hier vorliegenden Eichenstamm gilt k -1/6.

hallo,
Also ich komme wieder mal bei einer Aufgabe nicht weiter.
ich versuche eine Möglichkeit zu finden nur eine Variable in der T Gleichung oben zu haben (also entweder b oder h²).

Bis jetzt habe ich folgenden Gleichungen aufgestellt:
2x=60-h                    2x=b+2y-h
2y=60-b                    2y=h+2x-b

b=60-2y                    60=b+2y
h=60-2x                    60=h+2x

h²+b²
-------   = 60
   2

Außerdem habe ich noch diese Gleichung aufgestellt aber ich weiß nicht mehr wie ich darauf gekommen und ob sie stimmt:

0,5h-x
-------- = 1
0,5b


Ich weiß einfach nicht wie ich eine Variable weg bekomme ><

Achja hier eine Skizze:
http://yfrog.com/jpmatherj


        
Bezug
Extrema bei Baumstumpf Aufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:19 Di 08.06.2010
Autor: chrisno


>  Hinweis: Die Tragfähigkeit T wird berechnet nach
> T=k*b*h² wobei k eine Materialkonstante, b die Breite und
> h die Höhe des Balkens ist. Für den hier vorliegenden
> Eichenstamm gilt k -1/6.

> Bis jetzt habe ich folgenden Gleichungen aufgestellt:
>  2x=60-h                    2x=b+2y-h
>  2y=60-b                    2y=h+2x-b
>  
> b=60-2y                    60=b+2y
>  h=60-2x                    60=h+2x
>  

nicht nachgerechnet

> h²+b²
>  -------   = 60
>     2

Löse dies nach [mm] h^2 [/mm] auf und setze das in T ein.



Bezug
                
Bezug
Extrema bei Baumstumpf Aufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:21 Do 10.06.2010
Autor: Zack24

ich hab wieder irgendwo eine Fehler, weil ich für b=0 rausbekomme:

h²=60²-b²

T(x) [mm] =-\bruch{1}{6} [/mm] * b (60²-b²)
T(x) [mm] =-\bruch{1}{6} [/mm] * 60b²-b³
T(x) = -b³-10b²

T'(x) = -3b²-20b
T''(x) = -6b-20


T'(x) := 0
[mm] X_1= [/mm] - [mm] \bruch{20}{3} [/mm]    
[mm] X_2=0 [/mm]

T''(- [mm] \bruch{20}{3} [/mm] ) = 20
T''(0) = -20

wenn ich aber 0 jetzt in die Formel setze bekomme ich ja wieder 0 raus ><
T(0)=0

was habe ich falsch gemacht?

Bezug
                        
Bezug
Extrema bei Baumstumpf Aufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:38 Do 10.06.2010
Autor: MathePower

Hallo Zack24,

> ich hab wieder irgendwo eine Fehler, weil ich für b=0
> rausbekomme:
>  
> h²=60²-b²
>  
> T(x) [mm]=-\bruch{1}{6}[/mm] * b (60²-b²)
>  T(x) [mm]=-\bruch{1}{6}[/mm] * 60b²-b³


Hier muss es heißen:

[mm]T\left(x\right)=-\bruch{1}{6}*\left(60^{2}*\red{b}-b^{3}\right)[/mm]


>  T(x) = -b³-10b²
>  
> T'(x) = -3b²-20b
>  T''(x) = -6b-20
>  
>
> T'(x) := 0
>  [mm]X_1=[/mm] - [mm]\bruch{20}{3}[/mm]    
> [mm]X_2=0[/mm]
>  
> T''(- [mm]\bruch{20}{3}[/mm] ) = 20
>  T''(0) = -20
>  
> wenn ich aber 0 jetzt in die Formel setze bekomme ich ja
> wieder 0 raus ><
>  T(0)=0
>  
> was habe ich falsch gemacht?


Siehe oben.


Gruss
MathePower

Bezug
        
Bezug
Extrema bei Baumstumpf Aufgabe: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:34 Di 08.06.2010
Autor: Roadrunner

Hallo Zack!


> h²+b²
> -------   = 60
>   2

[notok] Wie kommst Du auf diese Gleichung? Gemäß dem Herrn Pythagoras, muss es heißen:
[mm] $$h^2+b^2 [/mm] \ = \ [mm] 60^2$$ [/mm]

Gruß vom
Roadrunner


PS:

> Für den hier vorliegenden Eichenstamm gilt k -1/6.

Das muss aber $k \ = \ [mm] \red{+}\bruch{1}{6}$ [/mm] heißen!


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Bezug
Extrema bei Baumstumpf Aufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:07 Do 10.06.2010
Autor: Zack24

stimmt hab den Pythagoras verwechselt bzw. falsch in Erinnerung gehabt.
K ist wirklich -1/6 steht so in der Aufgabe

Bezug
                        
Bezug
Extrema bei Baumstumpf Aufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:22 Do 10.06.2010
Autor: chrisno

In der Aufgabe ist dann ein Schreibfehler. Nimm k = + 1/6. Du kannst auch k = 1 setzen, also weglassen, weil da keine Einheiten dabei stehen, bloß wird das der Aufgabensteller nicht mögen.

Bezug
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