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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:44 Fr 26.06.2009 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | | $\ f(x) = [mm] e^x \sin [/mm] x $ |
Hallo,
ich hab hier Schwierigkeiten beim ermitteln der Extrema.
Mein Ansatz war:
$\ f(x) = [mm] e^x \sin [/mm] x $
$\ f'(x) = [mm] e^x \sin [/mm] x + [mm] e^x \cos [/mm] x $
$\ f'(x) = [mm] e^x( \sin [/mm] x + [mm] \cos [/mm] x ) $
$\ f'(x) = x [mm] \ln [/mm] e( [mm] \sin [/mm] x + [mm] \cos [/mm] x ) $
Ein Gedanke war nach dieser Umformung $\ [mm] x_1 [/mm] = 0 $, wobei ich nicht so sicher bin, ob der letzte Schritt überhaupt erlaubt ist. Ich weiss, dass $\ [mm] \ln [/mm] e = 1 $, aber das bringt mich nicht weiter.
Würde mich über einen Tipp, wie weitergemacht werden kann, freuen.
Grüße,
ChopSuey
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> [mm]\ f(x) = e^x \sin x[/mm]
> Hallo,
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> ich hab hier Schwierigkeiten beim ermitteln der Extrema.
>
> Mein Ansatz war:
>
> [mm]\ f(x) = e^x \sin x[/mm]
>
> [mm]\ f'(x) = e^x \sin x + e^x \cos x [/mm]
>
> [mm]\ f'(x) = e^x( \sin x + \cos x )[/mm]
Hallo,
Du willst jetzt
0= [mm] e^x( \sin [/mm] x + [mm] \cos [/mm] x )
lösen.
Zunächst kannst Du völlig ungestraft durch [mm] e^x [/mm] dividieren, denn [mm] e^x [/mm] ist niemals =0.
Danach überlege Dir, an welchen Stellen sin(x)=-cos(x) gilt.
Die Umformung [mm] e^x= [/mm] x ln(e) ist nicht richtig.
Es ist doch [mm] x=x*ln(e)=ln(e^x), [/mm] und das ist nicht [mm] =e^x.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:23 Fr 26.06.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo angela,
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> Zunächst kannst Du völlig ungestraft durch [mm]e^x[/mm] dividieren,
> denn [mm]e^x[/mm] ist niemals =0.
Gut. Ich dachte, dass ich eine mögliche Lösung vernichte, wenn ich durch $\ [mm] e^x [/mm] $ dividiere.
>
> Danach überlege Dir, an welchen Stellen sin(x)=-cos(x)
> gilt.
Ich hätte in diesem Fall versucht die Gleichung $\ 0 = [mm] \sin [/mm] (x) + [mm] \cos [/mm] (x) $ mit Hilfe von $\ [mm] \cos [/mm] (x) = [mm] \pm \wurzel{1-\sin^2(x)} [/mm] $ zu lösen.
Sonst wüsste ich nicht, wie ich die Gleichung lösen soll.
Mir fällt nur noch $\ [mm] -\cos(x) [/mm] = [mm] \cos (\pi-x) [/mm] $ ein. Glaube aber, dass das hier nicht sehr hilfreich ist.
>
> Die Umformung [mm]e^x=[/mm] x ln(e) ist nicht richtig.
>
> Es ist doch [mm]x=x*ln(e)=ln(e^x),[/mm] und das ist nicht [mm]=e^x.[/mm]
Hm, natürlich Keine Ahnung, wie ich da drauf gekommen bin.
Danke
>
> Gruß v. Angela
Grüße
ChopSuey
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> Hallo angela,
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> >
> > Zunächst kannst Du völlig ungestraft durch [mm]e^x[/mm] dividieren,
> > denn [mm]e^x[/mm] ist niemals =0.
>
> Gut. Ich dachte, dass ich eine mögliche Lösung vernichte,
> wenn ich durch [mm]\ e^x[/mm] dividiere.
>
> >
> > Danach überlege Dir, an welchen Stellen sin(x)=-cos(x)
> > gilt.
>
> Ich hätte in diesem Fall versucht die Gleichung [mm]\ 0 = \sin (x) + \cos (x)[/mm]
> mit Hilfe von [mm]\ \cos (x) = \pm \wurzel{1-\sin^2(x)}[/mm] zu
> lösen.
> Sonst wüsste ich nicht, wie ich die Gleichung lösen soll.
so würde es auch gehen auf die umständliche art! du kannst aber auch durch cos(x) teilen und schauen wann der tan(x) = -1 ist
>
> Mir fällt nur noch [mm]\ -\cos(x) = \cos (\pi-x)[/mm] ein. Glaube
> aber, dass das hier nicht sehr hilfreich ist.
>
> >
> > Die Umformung [mm]e^x=[/mm] x ln(e) ist nicht richtig.
> >
> > Es ist doch [mm]x=x*ln(e)=ln(e^x),[/mm] und das ist nicht [mm]=e^x.[/mm]
>
> Hm, natürlich Keine Ahnung, wie ich da drauf gekommen
> bin.
> Danke
> >
> > Gruß v. Angela
>
> Grüße
> ChopSuey
>
gruß, ft
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> > Ich hätte in diesem Fall versucht die Gleichung [mm]\ 0 = \sin (x) + \cos (x)[/mm]
> > mit Hilfe von [mm]\ \cos (x) = \pm \wurzel{1-\sin^2(x)}[/mm] zu
> > lösen.
> > Sonst wüsste ich nicht, wie ich die Gleichung lösen soll.
> so würde es auch gehen auf die umständliche art! du kannst
> aber auch durch cos(x) teilen und schauen wann der tan(x) =
> -1 ist
... und so schlichte Gemüter wie ich gucken auf die Graphen und lassen sich inspirieren von dem, was sie sehen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:58 Fr 26.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> ... und so schlichte Gemüter wie ich gucken auf die Graphen
> und lassen sich inspirieren von dem, was sie sehen.
Guten morgen,
"Wo das Auge undeutlich sieht ist schon eine Art von Tod, wo kein deutliches Bild ist, ist keine Vorstellung."
(Georg Christoph Lichtenberg, 1777)
Gruß FRED
>
> Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:15 So 28.06.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
ich schaffe es beim besten Willen einfach nicht, diese Aufgabe zu lösen.
$\ f(x) = [mm] e^x\sin [/mm] x $
$\ f'(x) = [mm] e^x\sin [/mm] x + [mm] e^x\cos [/mm] x $
$\ f'(x) = 0 $
$\ 0 = [mm] e^x\sin [/mm] x + [mm] e^x\cos [/mm] x = [mm] e^x(\sin [/mm] x + [mm] \cos [/mm] x) | : [mm] e^x [/mm] $
$\ 0 = [mm] \sin [/mm] x + [mm] \cos [/mm] x $
$\ 0 = [mm] \sin [/mm] x [mm] \pm \wurzel{1-\sin^2 x} [/mm] $ mit $\ y = [mm] \sin [/mm] x $
$\ 0 = y [mm] \pm \wurzel{1-\y^2} [/mm] $
$\ -y = [mm] \pm \wurzel{1-y^2} [/mm] $
$\ [mm] y^2 [/mm] = [mm] \pm(1-y^2) [/mm] $
$\ [mm] y^2 [/mm] = [mm] 1-y^2 [/mm] $
$\ [mm] 2y^2 [/mm] = 1 [mm] \gdw [/mm] y = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}$
[/mm]
$\ y = [mm] \sin [/mm] x = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] $
$\ [mm] x_0 [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{4} \Rightarrow x_k [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{4} +2k\pi \wedge \overline{x}_k =\bruch{3\pi}{4} +2k\pi$
[/mm]
Die Lösungen stimmen aber nicht. Wo ist der Fehler??
Würde mich über Hilfe freuen, da ich hier wirklich nicht mehr weiter weiss.
Gruß
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:51 So 28.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> ich schaffe es beim besten Willen einfach nicht, diese
> Aufgabe zu lösen.
>
> [mm]\ f(x) = e^x\sin x[/mm]
>
> [mm]\ f'(x) = e^x\sin x + e^x\cos x [/mm]
>
> [mm]\ f'(x) = 0 [/mm]
>
> [mm]\ 0 = e^x\sin x + e^x\cos x = e^x(\sin x + \cos x) | : e^x[/mm]
>
> [mm]\ 0 = \sin x + \cos x [/mm]
>
> [mm]\ 0 = \sin x \pm \wurzel{1-\sin^2 x} [/mm] mit [mm]\ y = \sin x[/mm]
>
> [mm]\ 0 = y \pm \wurzel{1-\y^2} [/mm]
>
> [mm]\ -y = \pm \wurzel{1-y^2} [/mm]
>
> [mm]\ y^2 = \pm(1-y^2) [/mm]
>
> [mm]\ y^2 = 1-y^2 [/mm]
>
> [mm]\ 2y^2 = 1 \gdw y = \bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
Hallo,
dieses "genau dann wenn" ist falsch.
Aus [mm] 2y^2=1 [/mm] folgt y = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] ODER y = [mm] -\bruch{1}{\wurzel{2}}.
[/mm]
Du hast gerade die Möglichkeit ignoriert, die zur richtigen Lösung führt.
Gruß Abakus
>
> [mm]\ y = \sin x = \bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> [mm]\ x_0 = \bruch{\pi}{4} \Rightarrow x_k = \bruch{\pi}{4} +2k\pi \wedge \overline{x}_k =\bruch{3\pi}{4} +2k\pi[/mm]
>
> Die Lösungen stimmen aber nicht. Wo ist der Fehler??
>
> Würde mich über Hilfe freuen, da ich hier wirklich nicht
> mehr weiter weiss.
>
> Gruß
> ChopSuey
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:45 So 28.06.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Guten Morgen,
> > [mm]\ 2y^2 = 1 \gdw y = \bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
> Hallo,
> dieses "genau dann wenn" ist falsch.
> Aus [mm]2y^2=1[/mm] folgt y = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] ODER y =
> [mm]-\bruch{1}{\wurzel{2}}.[/mm]
> Du hast gerade die Möglichkeit ignoriert, die zur
> richtigen Lösung führt.
in einem meiner Versuche, habe ich sogar beide Fälle untersucht, kam aber dennoch nicht auf die richtige Lösung.
Für $\ x = - [mm] -\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] $ wäre das Ergebnis $\ [mm] x_0 [/mm] = [mm] -\bruch{\pi}{4} \Rightarrow x_k [/mm] = [mm] -\bruch{\pi}{4} +2k\pi \wedge \overline{x}_k =\bruch{5\pi}{4} +2k\pi [/mm] $
Die Lösung wird nur im Buch nicht erwähnt, was mich letztlich zum Schluss kommen ließ, dass das nicht richtig zu sein scheint.
Und woher weiss ich, welches von diesen beiden Lösungen nicht die richtige ist? Ich bin durch das ganze hin und her ziemlich durcheinander.
Zwei Lösungen muss es ja mindestens geben.
> Gruß Abakus
> >
Grüße
ChopSuey
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Hallo,
ich lasse mich jetzt mal auf Deinen Lösungsweg ein, auch wenn ich ihn sehr umständlich finde.
Du willst lösen
[mm] 0=\sin [/mm] x + [mm] \cos [/mm] x,
und Du möchtest mit den trigonometrischen Pythagoras arbeiten,
also mit der Gleichung [mm] 0=\sin x\pm \wurzel{1-\sin^2x}
[/mm]
Wie gesagt, durchs Quadrieren sind das keine Äquivalenzumformungen mehr, und Du mußt bei dem, was Du herausbekommst, testen, ob es eine Lösung ist oder nicht.
Das, was Du bekommst, ist eine Auswahl, in welcher die Lösungen dabei sind, sofern Du richtig gerechnet hast.
Ich habe nun aus Deinen Posts die Folgerungen aus obiger Gleichung zusammengefaßt und ein wenig zurechtgezupft:
[mm] x_k [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{4} +2k\pi [/mm] oder [mm] x_k =\bruch{3\pi}{4} +2k\pi [/mm] $ oder $ [mm] x_k [/mm] = [mm] -\bruch{\pi}{4} +2k\pi [/mm] oder [mm] \overline{x}_k =\bruch{5\pi}{4} +2k\pi [/mm] $.
Nun schaust Du nach durch Einsetzen, welches die Lösungen sind:
[mm] x=\bruch{3\pi}{4} +2k\pi [/mm] und x= [mm] -\bruch{\pi}{4} +2k\pi=(\bruch{7}{4}\pi+2k\pi.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:39 So 28.06.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Angela,
eine vermutlich sehr dumme Antwort Frage , doch wie setz ich die Lösungen denn korrekt ein?
$\ x = [mm] \bruch{\pi}{4} +2k\pi [/mm] $ hieße das
$\ [mm] \sin (\bruch{\pi}{4} +2k\pi) [/mm] + [mm] \cos (\bruch{\pi}{4} +2k\pi) [/mm] = 0 $, stimmt das so? Und wenn ja, wie rechne ich das dann richtig aus?
Ich fühl mich mittlerweile echt überfordert mit dieser Aufgabe :-(
> [mm]x=\bruch{3\pi}{4} +2k\pi[/mm] und x= [mm]-\bruch{\pi}{4} +2k\pi=(\bruch{7}{4}\pi+2k\pi.[/mm]
>
Wie kommst Du auf den rechten Teil der Gleichung?
> Gruß v. Angela
Gruß,
ChopSuey
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:18 So 28.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo Angela,
>
> eine vermutlich sehr dumme Antwort Frage , doch wie setz
> ich die Lösungen denn korrekt ein?
>
> [mm]\ x = \bruch{\pi}{4} +2k\pi[/mm] hieße das
>
> [mm]\ \sin (\bruch{\pi}{4} +2k\pi) + \cos (\bruch{\pi}{4} +2k\pi) = 0 [/mm],
> stimmt das so? Und wenn ja, wie rechne ich das dann richtig
Nein, für [mm] \pi/4 [/mm] sind beide Summanden positiv und die Summe ist damit nicht Null.
> aus?
>
> Ich fühl mich mittlerweile echt überfordert mit dieser
> Aufgabe :-(
Dann gebrauche langsam mal den Verstand (statt immer nur zu rechnen). Es sollte zum Grundwissen gehören, dass es einen Winkel im 1. Quadranten gibt, bei dem Sinus und Kosinus gleich sind - das ist der Winkel 45° bzw. [mm] \pi/4. [/mm] Es gilt [mm] sin45°=cos45°=1/\wurzel{2}. [/mm] Auch im 2., 3. und 4. Quadranten git es je einen Winkel, für den Sinus und Kosinus den gleichen Betrag haben (und sich gegebenenfalls nur im Vorzeichen unterscheiden). Es gilt [mm] sin135°=1/\wurzel{2} [/mm] und [mm] cos135°=-1/\wurzel{2}.
[/mm]
Somit ist sin135°+cos135°=0 (gleiches gilt mit vertauschten Vorzeichen für 315°).
>
>
> > [mm]x=\bruch{3\pi}{4} +2k\pi[/mm] und x= [mm]-\bruch{\pi}{4} +2k\pi=(\bruch{7}{4}\pi+2k\pi.[/mm]
>
> >
>
>
> Wie kommst Du auf den rechten Teil der Gleichung?
Es ist egal, ob man sich um 315° (also um [mm] \bruch{7}{4}\pi) [/mm] vorwärts dreht oder ob man sich um 45° RÜCKWÄRTS dreht (deswegen MINUS [mm] \bruch{1}{4}\pi).
[/mm]
(Mit vorwärts/rückwärts meine ich den positiven/negativen Drehsinn.)
Gruß Abakus
>
> > Gruß v. Angela
>
> Gruß,
> ChopSuey
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:21 So 28.06.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
danke, jetzt ist es klar.
Das Grundwissen fehlt leider hier und da:)
Grüße,
ChopSuey
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