Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 Sa 19.07.2008 | | Autor: | Kroni |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion [mm] $f(x,y)=x^3+y^3$.
[/mm]
Berechnen Sie die Extrema der Funktion |
Hi,
als erstes habe ich mir die partiellen Ableitungen nach x und nach y angeguckt. Die lauten ja:
[mm] $F_x=3x^2$, $F_y=3y^2$
[/mm]
Da notwendige Bedingung ist, dass beide 0 sein müssen, kommt nur der Punkt $(0,0)$ in Frage.
Die Hessematrix schaut so aus:
[mm] $\pmat{6x & 0 \\ 0 & 6y}$
[/mm]
Wenn ich dort den Punkt (0,0) reinstecke, bekomme ich die Nullmatrix.
D.h. ich kann über eine Art des Extremums nichts aussagen mit Hilfe der Hessematrix.
Wenn ich mir das Objekt jetzt näher anschau, und mal x=0 setze, dann habe ich ja:
$f(0,y)>0$ für $y>0$ und $f(0,y)<0$ für $y<0$
Analog mit x.
D.h. wenn ich aus dem Ursprung rausgehe in pos. x Richtung gehe ich nach oben, wenn ich in neg. x-Richtung gehe, gehe ich nach unten. Mit y analog.D.h. ich habe sicher kein Extremum.
Bleibt noch der Sattelpunkt. Aber hier liegt dann auch keiner vor?! Gibt es ein Kriterium für Sattelpunkte?
Noch eine andere Frage: Was ist die Nullmatrix überhaupt? Sie ist ja im Endeffekt (fast) alles:
Alle Hauptminoren sind größer gleich 0 => pos. semidefinit, Alle Hauptminoren sind kleiner gleich 0 => neg. semidefinit...
D.h. sie ist nicht indefinit....
LG
Kroni
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Hallo Kroni,
> Gegeben sei die Funktion [mm]f(x,y)=x^3+y^3[/mm].
> Berechnen Sie die Extrema der Funktion
> Hi,
>
> als erstes habe ich mir die partiellen Ableitungen nach x
> und nach y angeguckt. Die lauten ja:
> [mm]F_x=3x^2[/mm], [mm]F_y=3y^2[/mm]
>
> Da notwendige Bedingung ist, dass beide 0 sein müssen,
> kommt nur der Punkt [mm](0,0)[/mm] in Frage.
> Die Hessematrix schaut so aus:
>
> [mm]\pmat{6x & 0 \\ 0 & 6y}[/mm]
>
> Wenn ich dort den Punkt (0,0) reinstecke, bekomme ich die
> Nullmatrix.
>
> D.h. ich kann über eine Art des Extremums nichts aussagen
> mit Hilfe der Hessematrix.
>
> Wenn ich mir das Objekt jetzt näher anschau, und mal x=0
> setze, dann habe ich ja:
>
> [mm]f(0,y)>0[/mm] für [mm]y>0[/mm] und [mm]f(0,y)<0[/mm] für [mm]y<0[/mm]
> Analog mit x.
>
> D.h. wenn ich aus dem Ursprung rausgehe in pos. x Richtung
> gehe ich nach oben, wenn ich in neg. x-Richtung gehe, gehe
> ich nach unten. Mit y analog.D.h. ich habe sicher kein
> Extremum.
> Bleibt noch der Sattelpunkt. Aber hier liegt dann auch
> keiner vor?! Gibt es ein Kriterium für Sattelpunkte?
Kriterium für einen Sattelpunkt ist bei einer Funktion von zwei Variablen:
[mm]\left(f_{xx}*f_{yy}-\left(f_{xy}\right)^{2}\right)\left(x_{0},y_{0}\right) < 0[/mm]
Weiteres siehe hier: ![[]](/images/popup.gif) Hesse-Matrix
>
> Noch eine andere Frage: Was ist die Nullmatrix überhaupt?
> Sie ist ja im Endeffekt (fast) alles:
> Alle Hauptminoren sind größer gleich 0 => pos.
> semidefinit, Alle Hauptminoren sind kleiner gleich 0 =>
> neg. semidefinit...
> D.h. sie ist nicht indefinit....
>
> LG
>
> Kroni
>
>
Gruß
MathePower
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Hallo,
vielleicht ist das da noch nützlich.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Sa 19.07.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
danke für eure Antworten.
Noch eine Frage: Was genau ist denn jetzt die Nullmatrix? Sie ist doch nicht indefinit, oder?
LG
Kroni
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Hallo Kroni,
> Hi,
>
> danke für eure Antworten.
>
> Noch eine Frage: Was genau ist denn jetzt die Nullmatrix?
> Sie ist doch nicht indefinit, oder?
Die Nullmatrix ist, wie Du schon richtig bemerk hast, nach den Eigenwerten zu urteilen semidefinit.
Jedoch ist die Nullmatrix nicht indefinit, da sie keine positven und negativen Eigenwerte besitzt.
>
> LG
>
> Kroni
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Sa 19.07.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
okay. also liegt dann im Punkt (0,0) auch kein Sattelpunkt vor, und kein Extremum? Sprich: Die Fkt. hat auf [mm] $\IR$ [/mm] kein Extremum.
LG
Kroni
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> okay. also liegt dann im Punkt (0,0) auch kein Sattelpunkt
> vor, und kein Extremum? Sprich: Die Fkt. hat auf [mm]\IR[/mm] kein
> Extremum.
Hallo,
daran, daß die Funktion kein Extremum hat, besteht kein Zweifel, das hast Du selbst ja auch herausbekommen anhand der Untersuchung des Verlaufs in Richtung x- und y-Achse.
Ob das nun ein Sattelpunkt ist, kommt darauf an, wie Sattelpunkt definiert ist...
Nur das, was wie ein Sattel aussieht, oder alles, was den Gradienten Null hat und kein Extremwert ist.
Mein Buch und Skript sind diesbezüglich nicht mitteilsam. Was ein Extremwert ist, ist dort genau erklärt, Sattelpunkt nicht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:50 Sa 19.07.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
danke für die Antwort. Okay, dann ist das mit dem Sattelpunkt wohl nicht ganz so eindeutig wie im [mm] $\IR^1$...
[/mm]
Beste Grüße,
Kroni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 So 20.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast ne waagerechte Tangentialebene.
Es gibt den "normalen" Sattel, typisches Beispiel ist ein echter Pferdesattel, oder ein leigender Kühlturm bei seiner Taille.
d.h. du kannst drauf sitzen, ein Bein links, eins rechts, vor und hinter dir gehts rauf.
nächster Typ Sattel:Affensattel, den hast du hier, wieder Platz für 2 Beine nach unten, zusätzlich kann ach der Schwanz noch runterhängen.
Typisch: schneidet man parallel zur "Sattelebene, ergeben sich beim echten Sattel 2 einzelne Höhenlinien, beim Affensattel 3, na und für Spinnen gibts auch noch nen Sattel usw.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:15 Mo 21.07.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi leduart,
danke für deine Antwort =
LG
Kroni
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