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| Aufgabe | | [mm] \bruch{x^2}{(x^2+1)} [/mm] |
Hab mir die Funktion skizziert... Soll nun Extrema berechnen..
Meine Ableitung ist diese hier:
[mm] \bruch{2x}{(x^2+1)^2}
[/mm]
Nun gleich 0 setzten... Mein allseits beliebtes Problem... Wie zum Henker lös ich sowas auf? Bitte um Hilfe....
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Hab das mal wieder mit meiner Methode gemacht... Aber die kann so nicht stimmen...wäre zu einfach.. diese hier:
[mm] \bruch{2x}{(x^2+1)^2} [/mm] = 0 [mm] /:(x^2+1)^2
[/mm]
2x = 0 /:2
x = 0
Ich meine Null soll ja wohl rauskommen, wenn meine Skizze stimmt..... theoretisch müsste der Nullpunkt auch das Extremum sein.... Also ein Minimum...
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Hallo,
> Hab das mal wieder mit meiner Methode gemacht... Aber die
> kann so nicht stimmen...wäre zu einfach.. diese hier:
>
> [mm]\bruch{2x}{(x^2+1)^2}[/mm] = 0 [mm]/\red{*}(x^2+1)^2[/mm] hier "MAL" rechnen !!
> 2x = 0 /:2
> x = 0 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ich meine Null soll ja wohl rauskommen, wenn meine Skizze
> stimmt..... theoretisch müsste der Nullpunkt auch das
> Extremum sein.... Also ein Minimum...
Um diese Behauptung zu untermauern, musst du die 2.Ableitung berechnen und schauen, ob selbige an besagter potentieller Extremstelle x=0 auch >0 ist, also ob gilt $f''(0)>0$
LG
schachuzipus
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okay.. also meine 2.Ableitung sieht so aus:
[mm] \bruch{-6x^4-4x^2+2}{(x^4+2x^2+1)^2}
[/mm]
Diese ist dann ja größer Null wenn ich x=0 einsetzt... ist das so richtig?
Und was mach ich dann um die Wendepunkte rauszubekommen?
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Hallo,
> okay.. also meine 2.Ableitung sieht so aus:
>
> [mm]\bruch{-6x^4-4x^2+2}{(x^4+2x^2+1)^2}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
kleiner Tipp: ich nehme an, du hast mit der Quotientenregel abgeleitet.
Da kannst du - statt alles auszumultiplizieren - einmal [mm] (x^2+1) [/mm] ausklammern und kürzen, dann vereinfacht sich die 2 Abl. zu [mm] $f''(x)=\frac{2(1-3x^2)}{(x^2+1)^3}$
[/mm]
>
> Diese ist dann ja größer Null wenn ich x=0 einsetzt... ist
> das so richtig?
>
> Und was mach ich dann um die Wendepunkte rauszubekommen?
Wie sind denn die Kriterien für einen WP?
$f''(x)=0$ und [mm] $f'''(x)\neq [/mm] 0$
Also ... 
LG
schachuzipus
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Wenn ich das kürze, dann ist es natürlich viel leichter weiter zu rechnen.. aber ich habe nicht ganz verstanden was du gemacht hast.. du hast den Nenner meiner 1.Ableitung nicht ausmultiplizert... also [mm] (x^2+1)^2 [/mm] stehen lassen...
Peinlich, aber wie bilde ich hiervon dann die Ableitung? Muss ja f´(x)*g(x) - g`(x)*f(x) .... Nenner ist klar...
Nenner ist klar..... Da hast du [mm] (x^2+1)^4 [/mm] stehen... klar kann ich hier ein [mm] (x^2+1) [/mm] ausklammern, aber im Zähler versteh ichs nicht
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Hi,
ich meinte beides, Zähler und Nenner nicht ausmultiplizieren:
[mm] $f'(x)=\frac{2x}{(x^2+1)^2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow f''(x)=\frac{2(\red{x^2+1})^2-2x(2\overbrace{(\red{x^2+1})2x)}^{Kettenregel}}{(\red{x^2+1})^4}$
[/mm]
Hier kannst du im Zähler das [mm] x^2+1 [/mm] auklammern und gegen das im Nenner wegkürzen
Das [mm] $(x^2+1)^2$ [/mm] leitest du gem. Kettenregel ab:
[mm] $\left[(x^2+1)^2\right]'=\underbrace{2(x^2+1)}_{\text{äußere Ableitung}}\cdot{}\underbrace{2x}_{\text{innere Ableitung}}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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Ahh... alles klar..... hier ist meine 3.te Ableitung.... bin mir nicht sicher ob es so korrekt ist:
[mm] \bruch{-24x(2x^2+1)}{x^2+1)^3}
[/mm]
Stimmt diese Ableitung von [mm] (x^2+1)^3 [/mm]
[mm] 3(x^2+1)^2 [/mm] * 2x
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Hallo,
leider stimmt deine 3. Ableitung so nicht:
[mm] f''(x)=\bruch{-6x^{2}+2}{(x^{2}+1)^{3}}
[/mm]
[mm] u=-6x^{2}+2
[/mm]
u'=-12x
[mm] v=(x^{2}+1)^{3}
[/mm]
[mm] v'=3(x^{2}+1)^{2}*2x=6x(x^{2}+1)^{2}
[/mm]
[mm] f'''(x)=\bruch{-12x*(x^{2}+1)^{3}-(-6x^{2}+2)*6x(x^{2}+1)^{2}}{(x^{2}+1)^{6}}
[/mm]
[mm] f'''(x)=\bruch{-12x*(x^{2}+1)-(-6x^{2}+2)*6x}{(x^{2}+1)^{4}}
[/mm]
[mm] f'''(x)=\bruch{-12x^{3}-12x+36x^{3}-12x}{(x^{2}+1)^{4}}
[/mm]
[mm] f'''(x)=\bruch{24x^{3}-24x}{(x^{2}+1)^{4}}
[/mm]
deine 2. Aufgabe mit Kettenregel ist korrekt
Steffi
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Ja soweit wars klar mit den Wendepunkten.....
Ich weiß nur nicht: Wo muss ich den x-Wert ,den ich rausbekommen habe indem ich f´´(x) null gesetzt habe, einsetzten um den y-Wert rauszubekommen? In f(x) oder in f´(x)
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Ich hab mein Ergebnis mal in f(x) eingesetzt.... Mein Ergebnis bei f´´(x) =0 war [mm] +-\wurzel{\bruch{2}{6}} [/mm]
Stimmt das? Wenn ich das nun in f(x) einsetzt, bekomm ich einmal -0,5 und einmal 0,25 raus.... das kann doch aber nicht sein oder? Das Ding ist doch symmetrisch.... wo zum Henker ist mein Fehler
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Ach mann... hat sich erledigt.... hab mich verrechnet... Kommt beidesmal 0,25 raus... Hoffe das stimmt auch
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Hallo,
du erhälst jeweils 0,25,
Steffi
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Bei Wendepunkten muss muss doch diese Bedingung noch erfüllt sein: f´´´(x) ungleich null
Dann muss ich hier in meinem Fall von beiden Wendepunkten den x Wert in die 3.te Ableitung einsetzt und schauen ob beidesmal ein Wert rauskommt der nicht gleich 0 ist.
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Hallo Tigerbaby!
Genau so geht's ... ! Das ist dann das sogenannte "hinreichende Kriterium".
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo,
die Wendepunkte liegen an den Stellen [mm] x_1=\wurzel{\bruch{1}{3}} [/mm] und [mm] x_2=-\wurzel{\bruch{1}{3}}, [/mm]
jetzt in f(x) einsetzen, du bekommst die Wendepunkte,
bedenke immer:
die gegebene Funktion besitzt den (oder die) Wendepunkte, somit immer
in f(x) einsetzen,
Steffi
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Danke, hab ich mittlerweile auch rausgefunden....
Als nächstes soll ich Asymptoten berechnen... Die senkrechte Asymptote ist klar... Da setz ich den Nenner gleich null......
Aber wie berechne ich die waagrechte Asymptote? Das ist mir ein Rätsel...
Dann soll ich noch das Krümmungsverhalten, das Verhalten
an Unstetigkeitsstellen und das Verhalten für beliebig große und beliebig kleine Argumente bestimmen... Da weiß ich gar nicht was ich hier machen muss........
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Mit dem Krümmungsverhalten bin ich, glaube ich, einen Schritt weiter...
Das Krümmungsverhalten wird bestimmt durch die zweite und dritte Ableitung - als Stichpunkt sei hier die Suche nach Wendepunkten
genannt: für Wendepunkte muß gelten f''(x) = 0, wobei die dritte
Ableitung dann die Krümmungsrichtung angibt: f'''(x) > 0 entspricht
einer Linkskrümmung, f'''(x) < 0 entspricht einer Rechtskrümmung und
f'''(x) = 0 bedeutet, daß an der Stelle x ein "Sattelpunkt" vorliegt.
Ist es dann so richtig: Ich hatte als Wendepunkte [mm] (\wurzel{\bruch{1}{3}}/0,25) [/mm] und [mm] (-\wurzel{\bruch{1}{3}}/0,25) [/mm]
eingesetzt in die 3.Abl. hatte ich dann -2,92 und 46,66 raus
Das heißt, dass die Funktion erst eine Rechtskrümmung und dann eine Linkskrümmung hat.
Stimmt das so? Und kann ich das so schreiben?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:21 Mi 19.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 Mo 17.12.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
mit den Asympoteten, die entweder waagerecht sind, oder "schräg" (und natürlich auch senkrecht, aber das kannst du ja schon), geht das so:
Du teilst einfach durch die höchste Potenz des Zählers. Dann lässt du x gegen unendlich gehen, und dann bleibt etwas über. Ist die höchste Potenz des Zählers gleich dem Nenner, so hast du eine waagerechte. Ist sie größer, so hast du entweder ne Gerade, wenn der Grad des Zählers um eins größer ist, als der des Nenners, oder ne Parabel, wenns um zwei größer ist etc.
Ist der Grad des Zählerpolynoms kleiner als der des Nenners, so geht's gegen Null.
Ich hoffe, ich konnte dir helfen. Versuche das mal umzustezen,. Dann helfen wir dir weiter.
LG
Kroni
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Hallo Tigerbaby,
> [mm]\bruch{x^2}{(x^2+1)}[/mm]
> Hab mir die Funktion skizziert... Soll nun Extrema
> berechnen..
>
> Meine Ableitung ist diese hier:
> [mm]\bruch{2x}{(x^2+1)^2}[/mm]
>
> Nun gleich 0 setzten... Mein allseits beliebtes Problem...
> Wie zum Henker lös ich sowas auf? Bitte um Hilfe....
Da der Nenner eines Bruches niemals Null sein darf, ist ein Bruch nur dann Null, wenn der Zähler Null ist.
Das kannst du dir auch überlegen, wenn du die Gleichung
[mm] $\frac{2x}{(x^2+1)^2}=0$ [/mm] mal mit dem Nenner durchmultiplizierst ....
LG
schachuzipus
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Also ist x = 0
Kann ich mir bei Brüchen das dann einfach so überlegen? Was muss im Zähler stehen damit dieser Null wird?
Wie schreib ich das dann auf? Einfach: nenner darf nicht null werden, daher
2x = 0 /2
x = 0
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Hi,
> Also ist x = 0
>
> Kann ich mir bei Brüchen das dann einfach so überlegen? Was
> muss im Zähler stehen damit dieser Null wird?
>
> Wie schreib ich das dann auf? Einfach: nenner darf nicht
> null werden, daher
> 2x = 0 /2
> x = 0
Ja das kannst du wohl machen, formal kannst du mit dem Nenner, der ja [mm] \neq [/mm] 0 ist, durchmultiplizieren, also
[mm] $\frac{Z}{N}=0\qquad \mid\cdot{}N$ [/mm] auf beiden Seiten
[mm] $\Rightarrow Z=0\cdot{}N=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] Z=0$
Gruß
schachuzipus
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| Aufgabe | | Ableitungen von [mm] \bruch{2x^2+1}{x^2-2x} [/mm] |
Ableitungen von [mm] \bruch{2x^2+1}{x^2-2x}
[/mm]
f´(x) = [mm] \bruch{-4x^2-2x+2}{(x^2-2x)^2}
[/mm]
f´´´(x) = [mm] \bruch{8x^3+6x^2-12x+8}{(x^2-2x)^3}
[/mm]
Kann mir jemand sagen ob das richtig ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Mo 17.12.2007 | | Autor: | ebarni |
> Ableitungen von [mm]\bruch{2x^2+1}{x^2-2x}[/mm]
> Ableitungen von [mm]\bruch{2x^2+1}{x^2-2x}[/mm]
>
> f´(x) = [mm]\bruch{-4x^2-2x+2}{(x^2-2x)^2}[/mm]
genau genommen: f'(x) = [mm] -\bruch{4x^2+2x-2}{(x^2-2x)^2}
[/mm]
> f´´´(x) = [mm]\bruch{8x^3+6x^2-12x+8}{(x^2-2x)^3}[/mm]
f''= [mm] \bruch{8x^3+6x^2-12x+8}{(x-2)^3*x^{3}}
[/mm]
sagt mein Rechenknecht. Der Zähler stimmt also, den Nenner bei der 2. Ableitung habe ich nicht nachgerechnet.
>
> Kann mir jemand sagen ob das richtig ist?
>
Grüße, Andreas
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Danke... Der Nenner müsste gleich sein wie bei mir...
Was sagt denn Dein schlaues Programm zur 3.Ableitung?
Habe hier
f´´´(x)= [mm] \bruch{-24x^4-24x^3+72x^2-96x+48}{(x^2-2x)^4}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Mo 17.12.2007 | | Autor: | ebarni |
> Danke... Der Nenner müsste gleich sein wie bei mir...
>
> Was sagt denn Dein schlaues Programm zur 3.Ableitung?
>
> Habe hier
> f´´´(x)= [mm]\bruch{-24x^4-24x^3+72x^2-96x+48}{(x^2-2x)^4}[/mm]
kleiner Tipp: Im Zähler kannst Du noch die 24 ausklammern:
f´´´(x)= [mm] -\bruch{24*(x^4+x^3-3x^2+4x-2)}{(x^2-2x)^4}
[/mm]
Mein schlaues Programm sagt für den Nenner: [mm] (x-2)^{4}*x^{4}
[/mm]
Grüße, Andreas
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Was für ein tolles Programm hast du denn?
Ich steh wieder vor meinem Problem GLeichungen nicht auflösen zu können.. Was muss ich denn nun machen:
[mm] \bruch{-4x^2-2x+2}{x^2-2x} [/mm] = 0
Sobald x mit unterschiedlichen Exponenten vorkommt weiß ich nicht was ich machen soll.. Kann mir an diesem Beispiel mal jemand schritt für schritt zeigen wie sowas geht..... dann versuch ich mal die 2.te Ableitung null zu setztn...
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Iekk... Falsche Gleichung... mit der obigen Gleichung ist klar... mach ich mit der pq-Formel....
Mit dieser hier komm ich nicht zurecht:
[mm] \bruch{8x^3+6x^2-12x+8}{(x^2-2x)^3}
[/mm]
Null setzen...... bekomm ich nicht hin.....
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Hallo, hier wird dir das Newton-Verfahren die Lösung bringen,
[mm] x_n_+_1=x_n-\bruch{f(x_n)}{f'(x_n)}
[/mm]
in Excel habe ich es rechnen lassen [mm] x_0=-1,85170813349353
[/mm]
Steffi
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Okay... wie das Verfahren ansich funktioniert weiß ich... Wie bestimme ich jetzt damit die Wendepunkte.... Nehme ich dann hierfür die 2.te und die 3.te Ableitung?
Und mit welchem Wert starte ich? Ich verstehe nicht warum nur ein Wendepunkt rauskommt.... Hab die Funktion mal in nem Programm zeichnen lassen und vom Taschenrechner... da sind doch mehr als 1 Wendepunkt... aber eins könnte dann ein Sattelpunkt sein...... Bin mir nicht sicher...
Also bitte eine Erklärung ob ich für die Berechnung der Wendepunkte mit Newton die 2.te und 3.te Ableitung verwende... und wie finde ich den startwert?
Und warum nur ein Wendepunkt.... PANIK
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Hallo, für den Wendepunkt gilt:
[mm] f''(x_w)=0 [/mm] und [mm] f'''(x_w)\not=0, [/mm] die 2. Ableitung hat eine Nullstelle, somit [mm] x_w\approx-1,85, [/mm] also ein Wendepunkt, ich krame jetzt eine alte Eselsbrücke für dich raus, niemals deinem Mathelehrer sagen, fahre den Graph mit einem Auto ab, du mußt lenken, wenn du von einer Linkskurve in eine Rechtskurve lenken mußt, oder umgekehrt, so liegt ein Wendepunkt vor, der Startwert für Newton ist eigenlich egal, wenn er in der Nähe der Nullstelle liegt, so benötigst du weniger Iterationsschritte, aber in Excel ist es eigentlich egal,
Steffi
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Die Bedingungen sind mir schon klar..... Wenn ich das Newton verfahren anwende um Nullstellen zu berechnen brauche ich f(x) und f´(x)
Wenn ich jetzt aber Wendepunkte bestimmen will, was brauche ich dann? f´´(x) und f´´´(x) ?
Muss das von Hand machen... kann also nicht mit Excel arbeiten....
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Hallo Tigerbaby!
> Wenn ich jetzt aber Wendepunkte bestimmen will, was brauche
> ich dann? f´´(x) und f´´´(x) ?
Genau!
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo, du hast sicherlich [mm] x_1=-1 [/mm] und [mm] x_2=0,5
[/mm]
Steffi
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Sehe ich das richtig:
Will Achsenschnittpunkte berechnen, also f(x)=0
wenn ich das nun mache und am Ende [mm] x^2=-1 [/mm] dastehen habe, zeigt mir das dann, dass die Funktion keine Schnittstellen mit den Achsen hat? Hat sie auch nicht, das seh ich ja an meinem Graphen. Aus einer negativen Zahl kann ich ja keine Wurzel ziehen
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Hallo Tigerbaby!
> Will Achsenschnittpunkte berechnen, also f(x)=0
Das ergibt die Schnittpunkte mit der x-Achse.
Für den Schnittpunkt mit der y-Achse den Wert $x \ = \ 0$ einsetzen.
> wenn ich das nun mache und am Ende [mm]x^2=-1[/mm] dastehen habe,
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]") Wie das? Siehe unten meine Frage zur aktuellen Funktion ...
> zeigt mir das dann, dass die Funktion keine Schnittstellen
> mit den Achsen hat? Hat sie auch nicht, das seh ich ja an
> meinem Graphen. Aus einer negativen Zahl kann ich ja keine
> Wurzel ziehen
Das wäre richtig von der Argumentation. Aber von welcher Funktion reden wir gerade?
$f(x) \ = \ [mm] \bruch{x^2}{x^2+1} [/mm] \ = \ 0$ ergibt nämlich [mm] $x^2 [/mm] \ = \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ = \ 0$ .
Gruß vom
Roadrunner
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