Extrem-/Wendepunkte < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 So 09.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Untersuche
a) [mm] f(x)=x*e^{-0.5x^{2}} [/mm] auf Extrempunkte
b) [mm] g(x)=(e^{x}-e^{-x})^{2} [/mm] auf Wendepunkte |
Hallo zusammen^^
Kann mir jemand nachgucken ob ich die Aufgabe richtig gerechnet habe?
a) [mm] f'(x)=e^{-0.5x^{2}}*(1-x)=0
[/mm]
x=1 >0
[mm] f''(x)=e^{-0.5x^{2}}*(-2+x)
[/mm]
[mm] f''(1)=-0-6\not=0 [/mm] ----> Minimum bei (1/0.6)
b) [mm] f'(x)=2e^{2x}-2e^{-2x}
[/mm]
[mm] f''(x)=4e^{2x}+4e^{-2x}=0
[/mm]
[mm] e^{2x}=e^{-2x}
[/mm]
Für x müsste 0 rauskommen,aber ich weiß nicht wie ich das nach x auflösen soll??
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 So 09.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
In a) passt die Ableitung nicht ganz.
[mm] f(x)=x*e^{-0,5x²}
[/mm]
[mm] f'(x)=1*e^{-0,5x²}+x*(-x*e^{-0,5x²})
[/mm]
[mm] =(1-x^{\red{2}})*e^{-0,5x²}
[/mm]
Und damit:
[mm] 1-x_{e}²=0
[/mm]
[mm] \gdw x_{e}=\pm1
[/mm]
Die Probe mit der 2ten Ableitung mache mal selber.
Ausserdem passt die y-Koordinate nicht :
[mm] f(1)=1*e^{-0,5*(1)²}
[/mm]
[mm] =e^{-0,5}
[/mm]
Dementsprechend [mm] f(-1)=-e^{-0,5}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 So 09.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
ok,ich hab die zweite Ableitung berechnet:
[mm] f''(x)=x*e^{-0.5x^{2}}*(-3+x^{2})
[/mm]
[mm] f''(1)=-1.21\not=0
[/mm]
[mm] f''(-1)=3.297\not=0
[/mm]
Damit hab ich also 2 Wendepunkte [mm] W_{1}=(1/e^{-0.5}) W_{2}=(1/-e^{-0.5}).
[/mm]
Ist das jetzt ok so?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 So 09.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> ok,ich hab die zweite Ableitung berechnet:
>
[mm] f''(x)=x*e^{-0.5x^{2}}*(-3+x^{2})
[/mm]
Die passt aber auch nicht ganz:
Aus [mm] f'(x)=(1-x²)*e^{-0,5x²}
[/mm]
folgt (Wieder mit der Kombi aus Produkt- und Kettenregel)
[mm] f''(x)=2x*e^{-0,5x²}+(1-x²)*(-x)*e^{-0,5x²}
[/mm]
[mm] =(2x-(x(1-x²))e^{-0,5x²}
[/mm]
[mm] =(x+x³)e^{-0,5x²}
[/mm]
[mm] f''(1)=...\red{<}\green{>}0 [/mm] also HochTiefpunkt bei H(1/f(1))
[mm] f''(-1)=...\red{<}\green{>}0 [/mm] also HochTiefpunkt bei H(-1/f(-1))
>
> Damit hab ich also 2 Wendepunkte [mm]W_{1}=(1/e^{-0.5}) W_{2}=(1/-e^{-0.5}).[/mm]
>
> Ist das jetzt ok so?
Für Wendepunkte [mm] W(x_{w}/F(x_{w}) [/mm] gilt.
[mm] f''(x_{w})=0 [/mm] und [mm] f'''(x_{w})\ne0.
[/mm]
Mach dir bitte noch einmal die Bedingungen für Extrem- und Wendestellen klar, und beachte die Kombination aus Produkt- und Kettenregel, das ist bei der Funktionsuntersuchung von e-Funktionen ein gängiges Verfahren.
>
> lg
Marius
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Hier fehlt ein Minuszeichen: [mm] $e^{2x} [/mm] \ = \ [mm] -e^{-2x}$
[/mm]