Extrapolation teil 2 < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Ableitung einer Funktion f an der Stelle x lässt sich durch den zentralen Differenzenquotienten [mm] \bruch{f(x+h)-f(x-h)}{2h} [/mm] approximieren
(a)Zeige, dass für (2m+2)-mal stetig diffbares f eine asymptotische Entwicklung der Form
[mm] \bruch{f(x+h)-f(x-h)}{2h}=f'(x)+\tau_1(x)h^2+\tau_2(x)h^4+...+\tau_m(x)h^{2m}+O(h^{2m+2}) [/mm] ex.
(b) Berechne für [mm] f(x)=\bruch{1}{x} [/mm] eine Näherung von f'(2) durch Extrapolation mit [mm] h_1=1 [/mm] und [mm] h_2=\bruch{1}{2} [/mm] |
hallo,
zu (b) habe ich folg gemacht:
ich habe einfach die obere formel verwendet [mm] \bruch{f(x+h)-f(x-h)}{2h}
[/mm]
für [mm] h_1=1: \bruch{f(2+1)-f(2-1)}{2}=\bruch{f(3)-f(1)}{2}=\bruch{\bruch{1}{3}-1}{2}=-\bruch{1}{3}
[/mm]
für [mm] h_2=\bruch{1}{2}: \bruch{f(2+1/2-f(2-1/2)}{1}=\bruch{f(5/2)-f(3/2)}{1}=-\bruch{4}{15}
[/mm]
Wie beweise ich den teil (a). ich habe mir überlegt mit den satz von taylor, aber weiß nicht so recht wie ich herangehen soll:
Ich bin für jede hilfe dankbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Di 07.04.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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